Геометрия Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна h, а угол при вершине

Задача: высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна h, а угол при вершине равен β. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Ответ: площадь треугольника = h2 * tgβ/2

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Похожие задачи:

Задача №1.

Угол при вершине равнобедренного треугольника β, а высота, проведенная к боковой стороне, равна h. Найдите основание треугольника.

Решение:

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника. У равнобедренного треугольника углы при основании равны.

Высота треугольника — это отрезок, опущенный из вершины треугольникаперпендикулярно противоположной стороне.

В данном случае высота AH опущена на боковую сторону ВС:

В равнобедренном треугольнике АВС:

- стороны АВ и ВС равны между собой (АВ = ВС), т.к. являются боковым сторонами;

- углы ∠А и ∠С тоже равны между собой (∠А = ∠С), т.к. являются углами при основании;

- АН является высотой, опущенной к боковой стороне ВС, поэтому ∠АНВ = ∠АНС =90°.

По условию задачи:

- ∠В = β;

- АН = h;

- AC = ?.

В треугольнике АНС:

- ∠С = (180° - β) : 2 = 90° - β/2;

- катет АН = h;

- AC является гипотенузой.

Так как синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то получаем:

sinC = AH / АС.

sin(90° - β/2) = h/AC.

По формуле приведения:

sin(90° – α) = cosα

Получаем:

sin(90° - β/2) = cos(β/2).

Следовательно:

cos(β/2) = h/AC.

AC =

Задача №2.

Угол при вершине равнобедренного треугольника β, а высота, проведённая к основанию, равна m. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.

Решение:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная из вершины, является и биссектрисой угла, т.е. она делит угол при вершине на β/2 + β/2. Из прямоугольного треугольника вычисляем гипотенузу (боковую сторону треугольника) А=m*cos(β/2).

Теперь рассмотрим треугольник с боковой стороной и высотой проведенной к боковой стороне. Эта высота будет катетом в прямоугольном треугольнике и равна произведению гипотенузы на sin(β).

H= m*cos(β/2)*sin(β) 

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

AE = CD

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

• BD – высота, проведенная к основанию AC;
• BD – медиана, следовательно, AD = DC;
• BD – биссектриса, следовательно, угол α равен углу β.
• BD – серединный перпендикуляр к стороне AC.

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

• a – основание;
• b – боковая сторона.

2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

Примеры задач

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):