Физика - уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
Решение задач Математика и Физика
Математика Решите неравенство: (x^2-2x-2)/(x^2-2x)+(7x-19)/(x-3) ≤ (8x+1)/x

Математика Решите неравенство: (x^2-2x-2)/(x^2-2x)+(7x-19)/(x-3) ≤ (8x+1)/x

Канал видеоролика: Решение задач Математика и Физика

Смотреть видео:

Задача: решите неравенство (x^2-2*x-2)*1/(x^2-2*x)+(7*x-19)*1/(x-3)<=(8*x+1)*1/x

Решение:

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Решение других задач по математике на тему "Рациональные неравенства"

Задание 15 № 507658

Решите неравенство

дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x плюс 1, знаменатель — (x плюс 2) в степени 2 плюс дробь, числитель — x в степени 2 плюс 2x плюс 1, знаменатель — (x минус 3) в степени 2 меньше или равно дробь, числитель — (2x в степени 2 минус x плюс 5) в степени 2 , знаменатель — 2(x плюс 2) в степени 2 (x минус 3) в степени 2 .

Решение.

Сделаем замену: a= дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x плюс 2 ,b= дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x минус 3 . Тогда

a плюс b= дробь, числитель — (x минус 1)(x минус 3) плюс (x плюс 1)(x плюс 2), знаменатель — (x плюс 2)(x минус 3) = дробь, числитель — 2x в степени 2 минус x плюс 5, знаменатель — (x плюс 2)(x минус 3) .

Неравенство принимает вид: a в степени 2 плюс b в степени 2 меньше или равно дробь, числитель — (a плюс b) в степени 2 , знаменатель — 2 , откуда

a в степени 2 плюс b в степени 2 минус 2ab меньше или равно 0 равносильно (a минус b) в степени 2 меньше или равно 0.

Это неравенство выполняется тогда и только тогда, когда a=b. Получаем:

дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x плюс 2 = дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x минус 3 равносильно x в степени 2 минус 4x плюс 3 = x в степени 2 плюс 3x плюс 2 равносильно x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Ответ: дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Примечание.

Задача допускает решение без замены переменной: тождественными преобразованиями данное неравенство приводится к дробь, числитель — (7x минус 1) в степени 2 , знаменатель — (x плюс 2) в степени 2 (x минус 3) в степени 2 меньше или равно 0, откуда также получается ответ x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 7 .

Задание 15 № 508212

Решите неравенство: (x в степени 2 минус 3,6x плюс 3,24)(x минус 1,5) меньше или равно 0.

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

(x минус 1,8) в степени 2 (x минус 1,5) меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x=1,8, новая строка x меньше или равно 1,5. конец совокупности .

Ответ: $( минус принадлежит fty;1,5>\cup\{1,8\}.$

Задание 15 № 507491

Решите неравенство: дробь, числитель — x в степени 2 минус 6x плюс 8, знаменатель — x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 4, знаменатель — x в степени 2 минус 3x плюс 2 меньше или равно 0.

Решение.

Перепишем неравенство в виде:

$дробь, числитель — x в степени 2 минус 6x плюс 8, знаменатель — x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 4, знаменатель — x в степени 2 минус 3x плюс 2 \le0 равносильно дробь, числитель — (x минус 4)(x минус 2), знаменатель — x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 4, знаменатель — (x минус 2)(x минус 1) меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 2) в степени 2 (x минус 4) минус (x минус 4), знаменатель — (x минус 2)(x минус 1) меньше или равно 0 равносильно$

Множество решений исходного неравенства: $( минус принадлежит fty;1)\cup(1;2)\cup[3;4>.$

Ответ:

$( минус принадлежит fty;1)\cup(1;2)\cup[3;4>.$

Задание 15 № 508213

Решите неравенство: дробь, числитель — 1, знаменатель — { x минус 1} плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — { 2 минус x} меньше или равно 5.

Решение.

Используя метод интервалов, получаем:

$дробь, числитель — 5x в степени 2 минус 15x плюс 11, знаменатель — левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \le0 равносильно дробь, числитель — 5 левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 15 минус корень из { 5, знаменатель — , знаменатель — 10 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус дробь, числитель — 15 плюс корень из { 5}, знаменатель — 10 правая круглая скобка }{(x минус 1)(2 минус x)} меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 1, новая строка дробь, числитель — 15 минус корень из { 5}, знаменатель — 10 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — 15 плюс корень из { 5}, знаменатель — 10 , новая строка x больше 2. конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty;1)\cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 15 минус корень из { 5}, знаменатель — 10 ; дробь, числитель — 15 плюс корень из { 5}, знаменатель — 10 правая квадратная скобка \cup(2; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 508345

Решите неравенство: 1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — { |x|} меньше или равно дробь, числитель — 23, знаменатель — x в степени 2 .

Решение.

Приведём выражение к общему знаменателю:

$1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — { |x|} меньше или равно дробь, числитель — 23, знаменатель — x в степени 2 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 минус 2|x| минус 23, знаменатель — x в степени 2 \le0 равносильно дробь, числитель — (|x| минус 1 минус 2 корень из 6 )(|x| плюс 2 корень из 6 минус 1), знаменатель — x в степени 2 \le0 равносильно$

$равносильно дробь, числитель — (|x| минус 1 минус 2 корень из 6 ), знаменатель — x в степени 2 \le0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1 минус 2 корень из 6 )(x плюс 1 плюс 2 корень из 6 ), знаменатель — x в степени 2 \le0.$

Предпоследнее преобразование верно, так как модуль не может принимать отрицательных значений.

Получаем минус 1 минус 2 корень из 6 меньше или равно x меньше 0 или $0 меньше x\le1 плюс 2 корень из 6 .$

Ответ: $[ минус 1 минус 2 корень из 6 ;0)\cup(0;1 плюс 2 корень из { 6}>.$

Задание 15 № 508347

Решите неравенство: $дробь, числитель — 6, знаменатель — { x корень из 3 минус 3} плюс дробь, числитель — x корень из 3 минус 6, знаменатель — x корень из 3 минус 9 \ge2.$

Решение.

Пусть z=x корень из 3 , получаем:

$дробь, числитель — 6, знаменатель — { z минус 3} плюс дробь, числитель — z минус 6, знаменатель — z минус 9 \ge2 равносильно дробь, числитель — 6(z минус 9) плюс (z минус 6)(z минус 3) минус 2(z минус 3)(z минус 9), знаменатель — (z минус 3)(z минус 9) \ge0 равносильно$

$равносильно дробь, числитель — z в степени 2 минус 21z плюс 90, знаменатель — (z минус 3)(z минус 9) \le0 равносильно дробь, числитель — (z минус 6)(z минус 15), знаменатель — (z минус 3)(z минус 9) \le0 равносильно совокупность выражений новая строка 3 меньше z\le6, новая строка 9 меньше z\le15. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем: $корень из 3 меньше x\le2 корень из 3$ или $3 корень из 3 меньше x\le5 корень из 3 .$

Ответ: $( корень из 3 ;2 корень из { 3}>\cup(3 корень из { 3};5 корень из { 3}].$

Задание 15 № 508348

Решите неравенство: левая круглая скобка дробь, числитель — 10, знаменатель — 5x минус 21 плюс дробь, числитель — 5x минус 21, знаменатель — 10 правая круглая скобка в степени 2 меньше или равно дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 .

Решение.

Сделав замену t= дробь, числитель — 5x минус 21, знаменатель — 10 , получаем:

$левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — t плюс t правая круглая скобка в степени 2 \leq дробь, числитель — 25, знаменатель — 4 равносильно минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — t плюс t меньше или равно дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 равносильно минус 5 меньше или равно дробь, числитель — 2t в степени 2 плюс 2, знаменатель — t \le5 равносильно$

$равносильно система выражений новая строка дробь, числитель — 2t в степени 2 минус 5t плюс 2, знаменатель — t \le0, новая строка дробь, числитель — 2t в степени 2 плюс 5t плюс 2, знаменатель — t \ge0 конец системы . равносильно система выражений новая строка левая квадратная скобка \begin{array}{l} t меньше 0, дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше или равно t меньше или равно 2,\end{array}. новая строка левая квадратная скобка \begin{array}{l} минус 2 меньше или равно t меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , t больше 0 \end{array}. конец системы . равносильно совокупность выражений минус 2 меньше или равно t меньше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше или равно t меньше или равно 2. конец совокупности .$

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

$совокупность выражений 5\le5x минус 21 меньше или равно 20, минус 20 меньше или равно 5x минус 21 меньше или равно минус 5 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь, числитель — 26, знаменатель — 5 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — 41}5, дробь, числитель — {, знаменатель — 1 , знаменатель — 5 меньше или равно x меньше или равно дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 . конец совокупности .$

Ответ: $левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 16, знаменатель — 5 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 26, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 41, знаменатель — 5 правая квадратная скобка .$

Задание 15 № 508355

Решите неравенство: дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 2x плюс 1, знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 1.

Решение.

Преобразуем неравенство:

дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 2x плюс 1 минус 2x плюс 1, знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x плюс 1, знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1) в степени 2 , знаменатель — 2x минус 1 меньше или равно 0.

Решения неравенства: x=1 или x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

Ответ: $левая круглая скобка минус принадлежит fty; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup\{1\}.$

Задание 15 № 508360

Решите неравенство: $дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 6x, знаменатель — x минус 4 \leq x.$

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

$дробь, числитель — 2x в степени 2 минус 6x, знаменатель — x минус 4 \leq дробь, числитель — x в степени 2 минус 4x, знаменатель — x минус 4 равносильно дробь, числитель — x(x минус 2), знаменатель — x минус 4 \leq0 равносильно совокупность выражений x меньше или равно 02 меньше или равно x меньше 4. конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty;0>\cup[2;4).$

Задание 15 № 508364

Решите неравенство: дробь, числитель — (x минус 1) в степени 2 плюс 4(x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — (3x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 4 .

Решение.

Решим первое неравенство:

дробь, числитель — (x минус 1) в степени 2 плюс 4(x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — (3x плюс 1) в степени 2 , знаменатель — 4 равносильно 2(x минус 1) в степени 2 плюс 8(x плюс 1) в степени 2 меньше или равно (3x плюс 1) в степени 2 равносильно

равносильно 2x в степени 2 минус 4x плюс 2 плюс 8x в степени 2 плюс 16x плюс 8 меньше или равно 9x в степени 2 плюс 6x плюс 1 равносильно

равносильно x в степени 2 плюс 6x плюс 9 меньше или равно 0 равносильно (x плюс 3) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно x= минус 3.

Ответ: $\{ минус 3\}.$

Задание 15 № 508367

Решите неравенство: дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x минус 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс дробь, числитель — 7x минус 19, знаменатель — x минус 3 меньше или равно дробь, числитель — 8x плюс 1, знаменатель — x .

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

$дробь, числитель — x в степени 2 минус 2x минус 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс дробь, числитель — 7x минус 19, знаменатель — x минус 3 меньше или равно дробь, числитель — 8x плюс 1, знаменатель — x равносильно 1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 7 плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 минус 8 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x \le0 равносильно$

$равносильно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x \le0 равносильно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка плюс дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 3 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x \le0 равносильно дробь, числитель — x(x минус 1), знаменатель — x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка \le0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 0, новая строка 0 меньше x меньше или равно 1, новая строка 2 меньше x меньше 3. конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty;0)\cup(0;1>\cup(2;3).$

Задание 15 № 508371

Решите неравенство: дробь, числитель — x в степени 4 минус 5x в степени 3 плюс 3x минус 25, знаменатель — x в степени 2 минус 5x больше или равно x в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 плюс дробь, числитель — 5, знаменатель — x .

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

равносильно дробь, числитель — 3x минус 25 минус 5(x минус 5), знаменатель — x(x минус 5) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — минус 2x, знаменатель — x(x минус 5) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 больше или равно 0 равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус 4 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — x минус 5 больше или равно 0,x не равно 0. конец системы равносильно система выражений дробь, числитель — x минус 5 минус 2(x минус 4), знаменатель — (x минус 4)(x минус 5) больше или равно 0,x не равно 0 конец системы равносильно

равносильно система выражений дробь, числитель — 3 минус x, знаменатель — (x минус 4)(x минус 5) больше или равно 0,x не равно 0. конец системы равносильно совокупность выражений x меньше 0, 0 меньше x меньше или равно 3, 4 меньше x меньше 5. конец совокупности

Ответ: $( минус принадлежит fty;0)\cup(0;3>\cup(4;5).$

Задание 15 № 508381

Решите неравенство: x в степени 2 минус 3x плюс 1 минус дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс 3x минус 21, знаменатель — x больше или равно 3.

Решение.

Решим второе неравенство:

равносильно дробь, числитель — (x плюс 3)(4x минус 7), знаменатель — x меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус 3, новая строка 0 меньше x меньше или равно дробь, числитель — 7, знаменатель — 4 . конец совокупности

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 3>\cup левая круглая скобка 0; дробь, числитель — 7, знаменатель — 4 правая квадратная скобка .$

Задание 15 № 508429

Решите неравенство: левая круглая скобка дробь, числитель — 2, знаменатель — 25x в степени 2 минус 10x минус 8 плюс дробь, числитель — 25x в степени 2 минус 10x минус 8, знаменатель — 2 правая круглая скобка в степени 2 больше или равно 4.

Решение.

Сделав замену t= дробь, числитель — 25x в степени 2 минус 10x минус 8, знаменатель — 2 , получаем:

$левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — t плюс t правая круглая скобка в степени 2 больше или равно 4 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — t в степени 2 плюс 2 плюс t в степени 2 \ge4 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — t в степени 2 минус 2 плюс t в степени 2 \ge0 равносильно левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — t минус t правая круглая скобка в степени 2 больше или равно 0 равносильно t не равно 0.$

Значит, x не равно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 и x не равно дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 .

Ответ: $левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 ; дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 4, знаменатель — 5 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .$

Задание 15 № 508432

Решите неравенство: { дробь, числитель — x в степени 5 минус x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 больше или равно дробь, числитель — x в степени 3 минус 1, знаменатель — 4x в степени 2 }.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ:

$[ минус 0,5;0)\cup(0;0,5>\cup[1; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 508434

Решите неравенство: {4 умножить на дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 меньше или равно 9 умножить на дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 }.

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

4 умножить на дробь, числитель — x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 меньше или равно 9 умножить на дробь, числитель — x плюс 1, знаменатель — x в степени 2 минус 2x плюс 1 равносильно дробь, числитель — 4x в степени 3 плюс 4x в степени 2 минус 9x минус 9, знаменатель — (x минус 1) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x плюс 1)(2x минус 3)(2x плюс 3), знаменатель — (x минус 1) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше или равно минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 , новая строка минус 1 меньше или равно x меньше 1, новая строка 1 меньше x меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Ответ:

$левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая квадратная скобка \cup[ минус 1;1)\cup левая круглая скобка 1; дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 правая квадратная скобка .$

Задание 15 № 508442

Решите неравенство: x в степени 2 плюс (2 минус корень из { 15})x минус 2 корень из { 15} меньше или равно 0.

Решение.

По теореме Виета, сумма корней уравнения равна минус 2 плюс корень из { 15} , а их произведение равно минус 2 корень из { 15}. Поэтому корни этого уравнения — числа и Тогда неравенство можно решить так:

x в степени 2 плюс (2 минус корень из { 15})x минус 2 корень из { 15} меньше или равно 0 равносильно (x плюс 2)(x минус корень из { 15}) меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно корень из { 15}.

Ответ: [ минус 2; корень из { 15}>.

Задание 15 № 508447

Решите неравенство: x корень из { 8} минус 7x плюс 14 корень из { 8} больше 57.

Решение.

Преобразуем неравенство:

Ответ: левая круглая скобка минус принадлежит fty; корень из { 8} минус 7 правая круглая скобка .

Задание 15 № 508449

Решите неравенство: (10x плюс 7)(4 минус 5x) левая круглая скобка 50x в степени 2 минус 5x минус 28 правая круглая скобка меньше 0.

Решение.

Заметим, что (10x плюс 7)(4 минус 5x)(50x в степени 2 минус 5x минус 28)= минус (10x плюс 7)(5x минус 4)(10x плюс 7)(5x минус 4)= минус (10x плюс 7) в степени 2 (4 минус 5x) в степени 2 , поэтому неравенство выполнено при всех , кроме x= минус 0,7 и x=0,8.

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 0,7)\cup( минус 0,7;0,8)\cup(0,8; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 508530

Решите неравенство: 2x плюс 1 минус дробь, числитель — 21x плюс 39 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 больше или равно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 .

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ:

$[ минус 3; минус 2)\cup( минус 2;1)\cup левая квадратная скобка дробь, числитель — 7, знаменатель — 2 ; плюс принадлежит fty правая круглая скобка .$

Задание 15 № 512484

Решите неравенство дробь, числитель — x, знаменатель — x в степени 2 плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 x в степени минус 1 .

Решение.

Преобразуем неравенство:

$дробь, числитель — x, знаменатель — x в степени 2 плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 4x равносильно дробь, числитель — 4x в степени 2 минус x в степени 2 минус 3, знаменатель — (x в степени 2 плюс 3)4x \le0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 1), знаменатель — (x в степени 2 плюс 3)x \le0.$

Учитывая, что при всех значениях x выражение x² + 3 положительно, получаем

$дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 1), знаменатель — x \le0,$

откуда

$x\le минус 1,0 меньше x\le1.$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 1>\cup (0;1].$

Задание 15 № 507203

Решите неравенство дробь, числитель — 2 минус (x минус 6) в степени минус 1 , знаменатель — 5(x минус 6) в степени минус 1 минус 1 меньше или равно минус 0,2.

Решение.

Сделаем замену y= дробь, числитель — 1, знаменатель — { x минус 6}. Получим

$дробь, числитель — 2 минус y, знаменатель — 5y минус 1 меньше или равно минус 0,2 равносильно дробь, числитель — 1,8, знаменатель — 5y минус 1 \le0 равносильно y меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 .$

Следовательно, дробь, числитель — 1, знаменатель — { x минус 6} меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 5 равносильно дробь, числитель — 11 минус x, знаменатель — x минус 6 меньше 0 равносильно совокупность выражений новая строка x меньше 6, новая строка x больше 11. конец совокупности .

Ответ: $( минус принадлежит fty;6)\cup (11; плюс принадлежит fty)$

Задание 15 № 515707

Решите неравенство $x плюс дробь, числитель — 20, знаменатель — x плюс 6 \ge6.$

Решение.

Решим неравенство:

$x плюс дробь, числитель — 20, знаменатель — x плюс 6 \ge6 равносильно x плюс дробь, числитель — 20 минус 6x минус 36, знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно x минус дробь, числитель — 6x плюс 16, знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 минус 16, знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x плюс 4)(x минус 4), знаменатель — x плюс 6 больше или равно 0 равносильно совокупность выражений система выражений x больше минус 6,x\le4, конец системы . x\ge4. конец совокупности .$

Ответ: $( минус 6; минус 4> \cup [4; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 516402

Решите неравенство дробь, числитель — 4x в степени 4 минус 4x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — минус 2x в степени 2 плюс 5x минус 2 плюс дробь, числитель — 2x в степени 3 минус 7x в степени 2 плюс 5x плюс 1, знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0.

Решение.

Преобразуем неравенство:

$равносильно система выражений дробь, числитель — минус 6x в степени 2 плюс 5x плюс 1, знаменатель — x минус 2 меньше или равно 0, x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — (6x плюс 1)(x минус 1), знаменатель — x минус 2 больше или равно 0, x не равно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец системы . равносильно совокупность выражений минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 меньше или равно x меньше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 меньше x\le1, x больше 2. конец совокупности .$

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 ; дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;1 правая квадратная скобка \cup (2; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 521996

Решите неравенство $x в степени 3 плюс 2x в степени 2 минус дробь, числитель — 24x в степени 2 минус x плюс 3, знаменатель — x минус 3 \le1.$

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (x минус 6)(x плюс 5), знаменатель — x минус 3 меньше или равно 0,

откуда $x\le минус 5, x=0$ и $3 меньше x\le6.$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 5>;\{0\}; (3;6].$

Задание 15 № 522124

Решите неравенство $x в степени 3 плюс 5x в степени 2 плюс дробь, числитель — 30x в степени 2 плюс x минус 8, знаменатель — x минус 8 \le1.$

Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

$дробь, числитель — (x в степени 3 плюс 5x в степени 2 )(x минус 8) плюс 30x в степени 2 плюс x минус 8, знаменатель — x минус 8 \le1 равносильно дробь, числитель — x в степени 4 плюс 5x в степени 3 минус 8x в степени 3 минус 40x в степени 2 плюс 30x в степени 2 плюс x минус 8 минус x плюс 8, знаменатель — x минус 8 \le0 равносильно дробь, числитель — x в степени 4 минус 3x в степени 3 минус 10x в степени 2 , знаменатель — x минус 8 \le0 равносильно$

$равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (x минус 5)(x плюс 2), знаменатель — x минус 8 \le0,$

откуда $x\le минус 2,x=0$ и 5 меньше или равно x меньше 8.

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 2>\cup\{0\}\cup[5; 8).$

Задание 15 № 523996

Решите неравенство $дробь, числитель — x в степени 2 минус 3x минус 2, знаменатель — x в степени 2 минус 3x плюс 2 плюс дробь, числитель — x в степени 2 минус 3x плюс 16, знаменатель — x в степени 2 минус 3x \ge0.$

Решение.

Сделаем замену y=x в степени 2 минус 3x. Получим:

$дробь, числитель — y минус 2, знаменатель — y плюс 2 плюс дробь, числитель — y плюс 16, знаменатель — y \ge0 равносильно дробь, числитель — y в степени 2 минус 2y плюс y в степени 2 плюс 18y плюс 32, знаменатель — y(y плюс 2) \ge0 равносильно дробь, числитель — 2y в степени 2 плюс 16y плюс 32, знаменатель — y(y плюс 2) \ge0 равносильно дробь, числитель — 2(y плюс 4) в степени 2 , знаменатель — y(y плюс 2) \ge0 равносильно совокупность выражений y меньше минус 2,y больше 0. конец совокупности .$

Отсюда после обратной замены получаем:

совокупность выражений x в степени 2 минус 3x меньше минус 2,x в степени 2 минус 3x больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x в степени 2 минус 3x плюс 2 меньше 0,x(x минус 3) больше 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 1 меньше x меньше 2,x меньше 0,x больше 3. конец совокупности .

Ответ: $( минус принадлежит fty;0)\cup(1;2)\cup(3; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 526726

Решите неравенство x плюс 1 минус дробь, числитель — 4, знаменатель — x плюс 1 больше или равно дробь, числитель — 6 минус 4 x минус 2 x в степени 2 , знаменатель — x плюс 2 .

Решение.

Преобразуем неравенство:

дробь, числитель — (x плюс 1) в степени 2 минус 4, знаменатель — x плюс 1 больше или равно дробь, числитель — минус 2(x минус 1)(x плюс 3), знаменатель — x плюс 2 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 3), знаменатель — x плюс 1 плюс дробь, числитель — 2(x минус 1)(x плюс 3), знаменатель — x плюс 2 больше или равно 0 равносильно

равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 3)(x плюс 2 плюс 2(x плюс 1)), знаменатель — (x плюс 1)(x плюс 2) больше или равно 0 равносильно дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 3)(3x плюс 4), знаменатель — (x плюс 1)(x плюс 2) больше или равно 0.

Решая полученное неравенство методом интервалов (см. рис.), находим ответ: минус 3 меньше или равно x меньше минус 2; минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 меньше или равно x меньше минус 1; x больше или равно 1.

Ответ: $[ минус 3; минус 2)\cup левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 ; минус 1 правая круглая скобка \cup [1; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 530384

Решите неравенство: дробь, числитель — 1, знаменатель — x(x плюс 1) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — (x плюс 1)(x плюс 2) плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — (x плюс 2)(x плюс 3) меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

Решение.

Заметим, что дробь, числитель — 1, знаменатель — n(n плюс 1) = дробь, числитель — 1, знаменатель — n минус дробь, числитель — 1, знаменатель — n плюс 1 . Применим эту формулу к каждому слагаемому левой части, получим:

дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 равносильно

$равносильно система выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — x плюс 3 меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — 3, знаменатель — x(x плюс 3) меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — x(x плюс 3) минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 \le0,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно$

$равносильно система выражений дробь, числитель — 4 минус 3x минус x в степени 2 , знаменатель — x(x плюс 3) \le0,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — (x минус 1)(x плюс 4), знаменатель — x(x плюс 3) \ge0,x не равно минус 1,x не равно минус 2 конец системы . равносильно совокупность выражений x\le минус 4, минус 3 меньше x меньше минус 2, минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше 0,x\ge1. конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 4>\cup( минус 3; минус 2)\cup( минус 2; минус 1)\cup( минус 1;0)\cup[1; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 530457

Решите неравенство $дробь, числитель — x в степени 4 минус 2x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 минус дробь, числитель — 2x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс x минус 1, знаменатель — x плюс 2 \le1.$

Решение.

Запишем исходное неравенство в виде:

$дробь, числитель — x в степени 4 минус 2x в степени 3 плюс x в степени 2 , знаменатель — x в степени 2 плюс x минус 2 минус дробь, числитель — 2x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс x минус 1, знаменатель — x плюс 2 \le1 равносильно дробь, числитель — x в степени 2 (x минус 1) в степени 2 , знаменатель — (x плюс 2)(x минус 1) минус дробь, числитель — 2x в степени 3 плюс x в степени 2 плюс 2x плюс 1, знаменатель — x плюс 2 \le0 равносильно$

$равносильно система выражений дробь, числитель — минус x в степени 3 минус 2x в степени 2 минус 2x минус 1, знаменатель — x плюс 2 \le0,x минус 1 не равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь, числитель — (x плюс 1)(x в степени 2 плюс x плюс 1), знаменатель — x плюс 2 \ge0,x не равно 1 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 2, минус 1 меньше или равно x меньше 1,x больше 1. конец совокупности .$

Ответ: $( минус принадлежит fty; минус 2)\cup[ минус 1;1)\cup(1; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 530674

Решите неравенство дробь, числитель — 3, знаменатель — x в степени 2 плюс 13x плюс 40 больше или равно дробь, числитель — 1, знаменатель — x в степени 2 плюс 15x плюс 56 .

Решение.

Запишем исходное неравенство в виде:

$дробь, числитель — 3, знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 8) минус дробь, числитель — 1, знаменатель — (x плюс 7)(x плюс 8) \ge0 равносильно дробь, числитель — 3(x плюс 7) минус (x плюс 5), знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 7)(x плюс 8) \ge0 равносильно$

$равносильно дробь, числитель — 2x плюс 16, знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 7)(x плюс 8) \ge0 равносильно система выражений дробь, числитель — 2, знаменатель — (x плюс 5)(x плюс 7) \ge0,x не равно минус 8 конец системы . равносильно совокупность выражений x меньше минус 8, минус 8 меньше x меньше минус 7,x больше минус 5. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка минус принадлежит fty; минус 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 8; минус 7 правая круглая скобка \cup( минус 5; плюс принадлежит fty).$

Задание 15 № 530701

Решите неравенство: $дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 2) в степени 3 плюс (x минус 3) в степени 3 минус 1 \ge0.$

Решение.

Разложим разность (x минус 2) в степени 3 минус 1 по формуле разности кубов, получим:

(x минус 2) в степени 3 минус 1 = (x минус 2 минус 1)((x минус 2) в степени 2 плюс (x минус 2) плюс 1) = (x минус 3)(x в степени 2 минус 3x плюс 3).

Вынесем в знаменателе общий множитель за скобки:

$дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 3)(x в степени 2 минус 3x плюс 3) плюс (x минус 3) в степени 3 \ge0 равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 3)(x в степени 2 минус 3x плюс 3 плюс x в степени 2 минус 6x плюс 9) \ge0 равносильно$

$равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — (x минус 3)(2x в степени 2 минус 9x плюс 12) \ge0 равносильно дробь, числитель — x, знаменатель — x минус 3 \ge0 равносильно совокупность выражений x больше 3,x\le0. конец совокупности .$