Геометрия Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на

Задача: точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на отрезки длиной 8 см и 12 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Ответ: площадь треугольника = 96 см2

Похожие задачи

Задача 1:

Точка касания окружности вписанной в прямоугольный треугольник делит гипотенузу на отрезки, равные 15 см и 10 см.
Найдите периметр этого треугольника.

Решение:

Задача 2:

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной в него окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 3 см и 7 см. Найдите площадь треугольника.

Решение:

Обозначим катеты а и в, радиус вписанной окружности r.
На катетах отрезки от острого угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7.
Тогда катеты равны r+3 и r+7.
По Пифагору (r+3)² + (r+7)² = 10².
r²+6r+9+r²+14r+49 = 100.2r²+20r-42 = 0,
r²+10r-21 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант:
D=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=100-(-4*21)=100-(-84)=100+84=184;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5 ≈1,78233;r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5 ≈ -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем.
Определяем катеты:
а = √46-5+3 = √46-2,в = √46-5+7 = √46+2.Площадь S треугольника равна:
S = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*(√46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)