Физика - уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
Решение задач Математика и Физика
Геометрия В равнобедренный треугольник вписана окружность Точка касания делит боковую сторону

Геометрия В равнобедренный треугольник вписана окружность Точка касания делит боковую сторону

Канал видеоролика: Решение задач Математика и Физика

Смотреть видео:

Задача: в равнобедренный треугольник вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону треугольника в отношении 9 : 8, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Решение:

Ответ: Площадь треугольника S = 4000/3 см2

Похожие задачи по теме: Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Задача 1.

Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 8:9, считая от вершины угла при основании треугольника. Найти площадь треугольника, если радиус вписанной окружности равен 16 см.

Дано: ∆ ABC, AC=BC,

окружность (O, r) — вписанная,

F, K, M, — точки касания со сторонами AB, BC, AC,

AM:MC=8:9, r=16 см.

Найти: $\[{S_{\Delta ABC}}\>$

Решение:

1) Пусть k — коэффициент пропорциональности (k>0). Тогда AM=8k см, MC=9k см.

2) По свойству касательных, проведенных из одной точки,

AF=AM=8k см, CK=MC=9k см.

Так как AC=BC, то BK=AM и BF=BK=8k см.

3) Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника.

Так как ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB, то CF — высота, медиана и биссектриса ∆ ABC.

4) Рассмотрим треугольник AFC.

∠AFC=90, AF=8k см, AC=AM+MC=17k см.

По свойству биссектрисы треугольника:

$\[\frac{{AC}}{{CO}} = \frac{{AF}}{{OF}}.\>$

OF=r. Пусть CO=x см, тогда

$\[\frac{{17k}}{x} = \frac{{8k}}{{16}}\>$

$\[x = \frac{{17k \cdot 16}}{{8k}}\>$

$\[\underline {x = 34} \>$

CO=34 см, CF=CO+OF=34+16=50 см.

По теореме Пифагора:

$\[A{C^2} = A{F^2} + C{F^2}\>$

$\[{(17k)^2} = {(8k)^2} + {50^2}\>$

$\[225{k^2} = {50^2}\>$

$\[15k = 50\>$

$\[k = \frac{{50}}{{15}} = \frac{{10}}{3}.\>$

Таким образом,

$\[AF = 8 \cdot \frac{{10}}{3} = \frac{{80}}{3}cm.\>$

$\[5){S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CF = AF \cdot CF,\>$

$\[5){S_{\Delta ABC}} = \frac{{80}}{3} \cdot 50 = \frac{{4000}}{3} = 1333\frac{1}{3}(c{m^2}).\>$

Ответ: 1333 1/3 кв.см.

Задача 2.

Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 5:4. Найти периметр треугольника, если боковая сторона меньше основания на 15 см.

вписанная в равнобедренный треугольник окружность Дано: ∆ ABC, AC=BC,