Физика - уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
Решение задач Математика и Физика
Математика В бассейн проведены три трубы Первая труба наливает 30 м3 воды в час Вторая труба

Математика В бассейн проведены три трубы Первая труба наливает 30 м3 воды в час Вторая труба

Канал видеоролика: Решение задач Математика и Физика

Смотреть видео:

Задача: в бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м³ воды в час. Вторая труба наливает в час на 3V м³ меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м³ больше первой. Сначала первая и вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значенииV бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?

Решение:

Примем объем бассейна за 1. Пусть вначале первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили (30 плюс 30 минус 3V) умножить на t_1=(60 минус 3V)t_1=0,3 бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили (30 плюс 30 минус 3V плюс 30 плюс 10V) умножить на t_2=(90 плюс 7V)t_2=0,7 бассейна. Тогда время наполнения бассейна

t(V)=t_1 плюс t_2= дробь, числитель — 0,1, знаменатель — 20 минус V плюс дробь, числитель — 0,7, знаменатель — 90 плюс 7V = дробь, числитель — 23, знаменатель — (20 минус V)(90 плюс 7V) .

Найдем, при каком V полученное выражение наименьшего значения. Графиком функции y=(20 минус V)(90 плюс 7V) является парабола, пересекающая ось абсцисс в точках 20 и минус дробь, числитель — 90, знаменатель — 7 , ветви которой направлены вниз. Абсцисса вершины этой параболы равна дробь, числитель — 20 плюс левая круглая скобка минус дробь, числитель — {, знаменатель — 9 0, знаменатель — 7 правая круглая скобка }2= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 . Эта величина лежит в интервале (0; 10), а значит, наибольшее значение квадратного трехчлена на данном интервале и достигается при V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 . Осталось заметить, что наибольшее значение знаменателя положительно, поэтому оно соответствует наименьшему значению t(V).

Ответ: дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .

Примечание.

В общем случае можно исследовать функцию при помощи производной. Необходимо найти наименьшее значение этой функции на интервале (0; 10). Найдем производную:

t'(V)= дробь, числитель — 0,1, знаменатель — (20 минус V) в степени 2 минус дробь, числитель — 4,9, знаменатель — (90 плюс 7V) в степени 2 .

Решим уравнение t'(V)=0, используя равносильность $x в степени 2 =y в степени 2 равносильно x=\pm y:$

дробь, числитель — 0,1, знаменатель — (20 минус V) в степени 2 минус дробь, числитель — 4,9, знаменатель — (90 плюс 7V) в степени 2 =0 равносильно (90 плюс 7V) в степени 2 =49(20 минус V) в степени 2 равносильно

$равносильно 90 плюс 7V=7(20 минус V) \text{или} 90 плюс 7V= минус 7(20 минус V)=0 равносильно 14V минус 50=0 равносильно V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 .$

Нетрудно показать, что это точка минимума, в которой функция достигает наименьшего значения на исследуемом промежутке.

Приведем другое решение.

Пусть объем бассейна равен A м³. Первая и вторая трубы, работая вместе t₁ ч, налили (30 плюс 30 минус 3V) умножить на t_1=(60 минус 3V)t_1=0,3A м³ бассейна, далее все три трубы, работая вместе t₂ ч, налили (30 плюс 30 минус 3V плюс 30 плюс 10V) умножить на t_2=(90 плюс 7V)t_2=0,7A м³ бассейна. В результате бассейн был налит полностью.

Известно, что для любых двух положительных чисел t₁ и t₂ верно неравенство $t_1 плюс t_2 больше или равно 2 корень из { t_1 умножить на t_2}$ (неравенство Коши).

Рассмотрим произведение t_1 умножить на t_2.

t_1 умножить на t_2= дробь, числитель — 0,1A, знаменатель — 20 минус V умножить на дробь, числитель — 0,7A, знаменатель — 90 плюс 7V = дробь, числитель — 0,7A в степени 2 , знаменатель — 1800 минус 90V плюс 140V минус 7V в степени 2 = дробь, числитель — 0,7A в степени 2 , знаменатель — минус 7V в степени 2 плюс 50V плюс 1800 .

Ясно, что знаменатель полученной дроби имеет наибольшее значение в точке V= дробь, числитель — 50, знаменатель — 14 = дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 . А это значит: t_1 умножить на t_2 имеет наименьшее значение в точке V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 (значение V принадлежит заданному промежутку). Следовательно, выражение $2 корень из { t_1 умножить на t_2}$ также будет иметь аналогичное значение в той же точке V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 . При этом:

$2 корень из { t_1 умножить на t_2}=2 корень из { дробь, числитель — 0,1A, знаменатель — 20 минус дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } умножить на дробь, числитель — 0,7A, знаменатель — 90 плюс 7 умножить на дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } }=2A умножить на корень из { дробь, числитель — 1, знаменатель — 200 минус дробь, числитель — 250 {7, знаменатель — } умножить на дробь, числитель — 0,7, знаменатель — 115 }=2A корень из { дробь, числитель — 7, знаменатель — 1150 умножить на дробь, числитель — 7, знаменатель — 1150 }= дробь, числитель — 14A, знаменатель — 1150 = дробь, числитель — 7A, знаменатель — 575 .$

$t_1 плюс t_2= дробь, числитель — 0,1A, знаменатель — 20 минус дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } плюс дробь, числитель — 0,7A, знаменатель — 90 плюс 7 умножить на дробь, числитель — 25 {7, знаменатель — } =A умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 200 минус дробь, числитель — 250 {7, знаменатель — } плюс дробь, числитель — 0,7, знаменатель — 115 правая круглая скобка =$

=A умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 7, знаменатель — 1400 минус 250 плюс дробь, числитель — 7, знаменатель — 1150 правая круглая скобка =7A умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 1150 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 1150 правая круглая скобка = дробь, числитель — 14A, знаменатель — 1150 = дробь, числитель — 7A, знаменатель — 575 .

Итак, при V= дробь, числитель — 25, знаменатель — 7 получим $t_1 плюс t_2=2 корень из { t_1 умножить на t_2}.$ А это значит, что в точке выражение t₁ + t₂ также примет наименьшее значение.