Геометрия В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию

Задача: в равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию на отрезки 6 и 12 см, Найдите площадь трапеции.

Дано: 

АВСД — трапеция
ЕФ — средняя линия
ЕФ1=12
ФФ1=6
угол 1 = углу 2
Найти S

Решение:

Угол 1 = углу 3 (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВД).

Так как угол 3 = углу 2, то ΔВСД - равнобедренный и ВС=СД=АВ.
ЕФ1 - средняя линия треугольника АВД ⇒ АД по свойству средней линии треугольника рана 2×12=24.
ФФ1 - средняя линия треугольника ВСД ⇒ ВС=2×6=12.
Значит, СД и АВ равны 12.

Найдем АН.
ВС=НК=12.
АН+КД=24-12=12.
Так как трапеция равнобедренная, то АН=КД=12/2=6.
Рассмотрим ΔАВН - прямоугольный.

По теореме Пифагора ВН=

Площадь трапеции - это средняя линя (которая равна 12+6=18) × высоту
S=18 * √108 = 108√3

Похожая задача:

В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 и 12. Найдите периметр трапеции.

Часть решения: P=a b 2c Средняя линия = полусумме оснований => сумма оснований = (6 12)*2=36 a b=36 Теперь нужно найти 2c - равные боковые стороны трапеции.

Если диагональ трапеции еще и биссектриса, то она отсекает от трапеции равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны одному из оснований.
Почему - ясно из свойства углов, образующихся при пересечении параллельных прямых секущей.
Действительно, угол ВСА равен углу САД. Но АС биссектриса, и потому угол ВАС=углу САД, отсюда и угол ВСА равен углу ВАС.
Итак, треугольник АВС - равнобедренный.
Отрезок МО=6, и, т.к. это часть средней линии трапеции, он является средней линией треугольника АВС.
ВС=2 МО=12
АД=2 ОК=24 - на том же основании.
А так как АВ=ВС=СД, то боковые стороны трапеции равны по 12 см. Периметр найдем сложением длин сторон:
Р=2*12 12 24=60

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)