Физика - уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
Решение задач Математика и Физика
Физика Через блок, закрепленный в вершине неподвижного клина, переброшена нить соединяющая грузы

Физика Через блок, закрепленный в вершине неподвижного клина, переброшена нить соединяющая грузы

Канал видеоролика: Решение задач Математика и Физика

Смотреть видео:

Задача: через блок, закреплённый в вершине неподвижного клина, переброшена нить, соединяющая грузы m1 и m2 = 2 кг. Угол наклона плоскости α = 30°, коэффициент трения об неё μ = 0,1. При какой наименьшей массе груза m1 он будет опускаться? Нить нерастяжима, массы нити и блока малы.

Решение:

Ответ: при массе груза m1 = 1,17 кг.

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Решение похожих задач по физике на тему брусков

Задание 29 № 4107

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами $m_1= 0{,}5кг$ и m_2 = 2кг, соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена направленная вертикально вниз сила F = 4 Н. Найдите ускорение этой оси. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Решение.

Нарисуем силы Т натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок О (см. рисунок). Введём систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось X:

В силу невесомости блока О имеем F = 2T, или T = дробь, числитель — F, знаменатель — 2 .

В силу нерастяжимости нити (длиной L) и неподвижности блоков А и В (их координаты x_A и x_B постоянны) имеется следующая кинематическая связь между координатами x_1 и x_2 грузов и координатой y_0 блока О (здесь — радиус блоков А и В, R — радиус блока О):

x_A минус x_1 плюс x_2 минус x_B плюс Пи r плюс Пи R плюс 2y_0=L,

или

x_2 минус x_1 плюс 2y_0 = const,

и значит

${ минус a_2} минус a_1 плюс 2a_0=0.$

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

$a_1= дробь, числитель — F, знаменатель — 2m_1 ,a_2= дробь, числитель — F, знаменатель — 2m_2 ,a_0= дробь, числитель — a_1 плюс a_2, знаменатель — 2 = дробь, числитель — F, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — m_1 плюс m_2, знаменатель — m_1m_2 =2{,}5м/с в степени 2 .$

Ответ: $a_0= дробь, числитель — F, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — m_1 плюс m_2, знаменатель — m_1m_2 =2{,}5м/с в степени 2 .$

Задание 29 № 4159

На гладкой горизонтальной плоскости лежат два груза массами m_1= 1 кг и m_2 = 2 кг, соединённые невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через два неподвижных (А и В) и один подвижный (О) невесомые блоки, как показано на рисунке. Оси блоков горизонтальны, трения в осях блоков нет. К оси О подвижного блока приложена некоторая направленная вертикально вниз сила, в результате чего ось О движется с ускорением a_0= 3м / с в степени 2 . Найдите модуль Fэтой силы. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на грузы и блок.

Решение.

Нарисуем силу и силы натяжения нити, одинаковые, в силу условия задачи, вдоль всей нити и действующие на грузы и блок (см. рисунок). Введем систему координат XY, как показано на рисунке, и запишем уравнения движения грузов в проекции на ось X: m_1a_1=T, m_2a_2=T.

В силу невесомости блока имеем F=2T, или T= дробь, числитель — F, знаменатель — 2 .

В силу нерастяжимости нити (длиной ) и неподвижности блоков и (их координаты x_A и x_B постоянны) имеется следующая кинематическая связь между координатами x_1 и x_2 грузов и координатой y_0 блока (здесь — радиус блоков и B, R — радиус блока :

x_A минус x_1 плюс x_2 минус x_B плюс Пи r плюс Пи R плюс 2y_0=L,

или

$x_2 минус x_1 плюс 2y_0=\text{const},$

и значит

${ минус a_2} минус a_1 плюс 2a_0=0.$

Решаем записанную систему уравнений и получаем ответ:

a_1= дробь, числитель — F, знаменатель — 2m_1 , a_2= дробь, числитель — F, знаменатель — 2m_2 , a_0= дробь, числитель — a_1 плюс a_2, знаменатель — 2 = дробь, числитель — F, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — m_1 плюс m_2, знаменатель — m_1m_2 , откуда $F= дробь, числитель — 4a_0m_1m_2, знаменатель — m_1 плюс m_2 =8\text{H}.$

Ответ: $F= дробь, числитель — 4a_0m_1m_2, знаменатель — m_1 плюс m_2 =8\text{H}.$

Задание 5 № 9204

На рисунке показана система, состоящая из трёх лёгких блоков и невесомого троса, с помощью которой можно удерживать в равновесии или поднимать груз массой M. Подвес груза и конец троса прикреплены к оси нижнего блока. Трение пренебрежимо мало.

На основании анализа приведённого рисунка выберите два верных утверждения и укажите в ответе их номера.

1) Для того чтобы удерживать груз в равновесии, нужно действовать на конец верёвки с силой F = дробь, числитель — Mg, знаменатель — 2 .

2) Изображённая на рисунке система блоков не даёт выигрыша в силе.

3) Для того чтобы медленно поднять груз на высоту h, нужно вытянуть участок верёвки длиной 3h.

4) Для того чтобы медленно поднять груз на высоту h, нужно вытянуть участок верёвки длиной 2h.

5) Для того чтобы удерживать груз в равновесии, нужно действовать на конец верёвки с силой F = дробь, числитель — Mg, знаменатель — 3 .

Решение.

Система состоит из двух неподвижных блоков и одного подвижного. Неподвижные блоки меняют направление силы, но не дают выигрыша. Данный подвижный блок даёт дополнительный выигрыш в силе в 3 раза (в отличие от подвижного блока, дающего выигрыш в 2 раза, в котором один из концов троса закреплён на неподвижной опоре, здесь трос прикреплён к этому же подвижному блоку). Таким образом, если на груз действует сила тяжести Mg, то для удержания системы в равновесии необходимо приложить силу в 3 раза меньшую, т.е. F = дробь, числитель — Mg, знаменатель — 3 (утверждения 1 и 2 неверны, утверждение 5 верно).

Для того чтобы поднять груз на высоту h, необходимо, чтобы три верёвки, присоединенные к грузу через подвижный блок, стали короче на h, а значит, придётся вытянуть веревку длиной 3h (утверждение 3 верно, утверждение 4 неверно).

Таким образом, подвижный блок даёт выигрыш в силе, но проигрыш в расстоянии и, тем самым, они не изменяют величину работы по подъёму груза.

Ответ: 35.

Объяснение Григория Левиева.

Поднимем груз рукой, а не за веревку, на 1 метр. Провиснут три веревки. Чтобы убрать провисание, т. е. чтобы веревки оказались вновь натянутыми, нужно свободный конец веревки вытянуть на 3 м. Когда поднимаем за веревку провисания не возникает. Это значит, что при перемещении груза на 1 м (или сантиметр), конец веревки, за который тянем, перемещается на 3 м. Теперь переходим к силам. Если груз поднялся на h, его энергия выросла на величину mgh. Это увеличение энергии произошло за счет работы силы F, приложенной к концу веревки mgh = A = F 3h, откудаF = mg/3.

Задание 4 № 3704

На железной дороге для натяжения проводов используется показанная на рисунке система, состоящая из легких блоков и тросов, натягиваемых тяжелым грузом. Чему равна сила натяжения провода? (Ответ дайте в ньютонах.) Трение в осях блоков мало. Блоки и нити считайте невесомыми.

Решение.

Система, представленная на рисунке состоит из трех блоков: двух подвижных и одного неподвижного. Назначение неподвижного блока заключается только в том, что он меняет направление действия силы, однако никакого выигрыша в силе при этом не возникает. Каждый подвижный блок, напротив, дает выигрыш в силе.

Определим силу, с которой натянута первая нить. Груз растягивает ее с силой:

T=mg=10кг умножить на 10м/с в степени 2 =100Н.

Рассмотрим теперь первый подвижный блок. Так как вся система статична, полная сила, действующая на этот блок, должна быть равна нулю. Первая нить тянет его направо с суммарной силой 2T, значит, натяжение второй нити тоже должно быть равно (вот он — выигрыш в силе). Аналогичное рассмотрение для второго подвижного блока показывает, что натяжение провода должно быть равно 4T=4 умножить на 100Н=400Н.

Ответ: 400.

Задание 29 № 7805

Найдите модуль ускорения A груза массой М в системе, изображённой на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити лёгкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза m, ускорение свободного падения равно g.

Решение.

Введём координатную ось Х, направленную вниз, и отметим на ней координаты грузов М и m: x_M и x_m (см. рис.). Пронумеруем блоки цифрами 1, 2, 3 и укажем на рисунке силы натяжения нитей и силы тяжести, действующие на грузы. Согласно условию, в силу невесомости нитей и блоков, а также отсутствия сил трения, первая нить, охватывающая блоки 1 и 2, натянута с силой T, а вторая — с силой 2T, так что на груз m действует направленная вверх сила 4T. Если сместить груз М вдоль оси Х вниз на расстояние Δx_M, то в силу нерастяжимости нитей блок 2 сместится вверх, как следует из рисунка, на −Δx_M/2, а блок 3 и груз m — вверх на Δx_m = −Δx_M/4. Таким образом, Δx_M + 4Δx_m = 0.

Отсюда получаем уравнение кинематической связи: A + 4a = 0, где A и a — проекции ускорений грузов М и m на ось Х. Уравнения движения грузов (второй закон Ньютона) в проекциях на ось Х имеют вид: МA = Мg – T, ma = mg – 4T. Решая полученную систему из трех уравнений, находим, что модуль ускорения груза М равен: |A| = дробь, числитель — 4|4M минус m|, знаменатель — 16M плюс m g.

Ответ: |A| = дробь, числитель — 4|4M минус m|, знаменатель — 16M плюс m g.

Задание 29 № 7837

Найдите модуль ускорения a груза массой m в системе, изображённой на рисунке. Трения нет, блоки невесомы, нити лёгкие и нерастяжимые, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, масса второго груза M, ускорение свободного падения равно g.

Решение.

Введём координатную ось Х, направленную вниз, и отметим на ней координаты грузов М и m: x_M и x_m (см. рис.). Пронумеруем блоки цифрами 1, 2, 3 и укажем на рисунке силы натяжения нитей и силы тяжести, действующие на грузы. Согласно условию, в силу невесомости нитей и блоков, а также отсутствия сил трения, первая нить, охватывающая блоки 1 и 2, натянута с силой T, а вторая — с силой 2T, так что на груз m действует направленная вверх сила 4T. Если сместить груз М вдоль оси Х вниз на расстояние Δx_M, то в силу нерастяжимости нитей блок 2 сместится, как следует из рисунка, на −Δx_M/2, а блок 3 и груз m — на Δx_m = −Δx_M/4. Таким образом, Δx_M + 4Δx_m = 0.

Отсюда получаем уравнение кинематической связи: A + 4a = 0, где A и a — проекции ускорений грузов М и m на ось Х. Уравнения движения грузов (второй закон Ньютона) в проекциях на ось Х имеют вид: МA = Мg – T, ma = mg – 4T. Решая полученную систему из трех уравнений, находим, что модуль ускорения груза М равен: |a| = дробь, числитель — |m минус 4M|, знаменатель — m плюс 16M g.

Ответ: |a| = дробь, числитель — |m минус 4M|, знаменатель — m плюс 16M g.

Задание 5 № 9049

На рисунке показана система, состоящая из лёгких тросов и четырёх идеальных блоков, с помощью которой можно удерживать в равновесии или поднимать груз массой M. Трение пренебрежимо мало.

На основании анализа приведённого рисунка выберите два верных утверждения и укажите в ответе их номера.

2) Для того чтобы удерживать груз в равновесии, нужно действовать на конец верёвки с силой F = дробь, числитель — Mg, знаменатель — 4 .

3) Для того чтобы медленно поднять груз на высоту h, нужно вытянуть участок верёвки длиной 2h.

4) Для того чтобы медленно поднять груз на высоту h, нужно вытянуть участок верёвки длиной 4h.

5) Изображённая на рисунке система блоков не даёт выигрыша в силе.

Решение.

Система состоит из двух подвижных блоков и двух неподвижных. Неподвижные блоки меняют направление силы, но не дают выигрыша. Подвижные блоки дают дополнительный выигрыш в силе в 2 раза. Таким образом, если на груз действует сила тяжести Mg, то для удержания системы в равновесии необходимо приложить силу в 22 = 4 раза меньшую, т. е. F = дробь, числитель — Mg, знаменатель — 4 (утверждения 1 и 5 неверны, утверждение 2 верно).

Для того, чтобы поднять груз на высоту h необходимо, чтобы 4 веревки, присоединенные к грузу через 2 подвижных блока, стали короче на h, а значит, придется вытянуть веревку длиной 4h (утверждение 3 неверно, утверждение 4 верно).

Таким образом подвижные блоки дают выигрыш в силе, но проигрыш в расстоянии и, тем самым, они не изменяют величину работы по подъему груза.

Ответ: 24.

Задания Д4 B4 № 4082

Чтобы уравновесить на лёгкой рейке с помощью двух невесомых блоков одинаковые грузы массой М каждый, к нити, перекинутой через левый блок, и к оси правого блока необходимо приложить вертикальные силы F₁ и F₂ (см. рисунок). Расстояния между чёрными точками на рейке одинаковы, трение отсутствует, нити нерастяжимы.

Можно утверждать, что

1) F_1=2F_2

2) F_2=2F_1

3) F_1=F_2=Mg

4) F_2 минус F_1=Mg

Решение.

Одним из условий равновесия тела является равенство нулю полного момента всех внешних сил относительно любой точки. Рассмотрим вращающие моменты всех сил относительно опоры. Это удобно, так как в этом случае нам не потребуется рассчитывать силу реакции опоры на балку, которая создавала бы ненулевой момент относительно любой другой точки на рейке.

Момент силы равен произведению модуля силы на плечо. Обозначим расстояние между черными точками через Левый груз создает момент, поворачивающий балку против часовой стрелки и равный Mg умножить на 2l. Левый блок является неподвижным, так что он не дает выигрыша в силе. Поэтому левая нить создает момент, также поворачивающий рейку против часовой стрелки и равный F_1 умножить на l. Правый груз стремится повернуть рейку по часовой стрелке и создает момент Mg умножить на l. Наконец, правый блок — подвижный. Следовательно, сила, с которой правая нитка тянет рейку, в два раза меньше, чем сила, с которой тянут правый блок. Таким образом, эта нить создает момент дробь, числитель — F_2, знаменатель — 2 умножить на 2l. Приравнивая моменты «по часовой» и «против часовой», получаем: 2Mgl плюс F_1l=Mgl плюс F_2l. Откуда, после сокращения на имеем: F_2 минус F_1=Mg.

Ответ: 4.

Задание 28 № 3558

Какую силу давления оказывает нить на ось блока? Массы грузов одинаковы и равны Трение не учитывать. Нить невесома и нерастяжима.

2) 2mg

3) дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 mg

4) 4{,}8 mg

Решение.

Слева висит три грузика, а справа только 2, поэтому вся конструкция начнет съезжать по блоку налево. Поскольку нить нерастяжима, левые и правы грузики будут двигаться с одинаковым ускорением, обозначим его через (черные стрелки). Нить невесома, это означает, что натяжение вдоль всей нити между левыми и правыми грузиками остается неизменным, обозначим эту силу через (зеленые стрелки).

Выпишем второй закон Ньютона для левых грузиков в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

3mg минус T=3ma.

Второй закон Ньютона для правых грузиков в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

T минус 2mg=2ma.

Решая систему двух последних уравнений, находим, что T= дробь, числитель — 12mg, знаменатель — 5 .

Наша задача — определить силу давления нити на блок, по третьему закону Ньютона эта сила равна силе реакции опоры на нить (синяя стрелка). Следовательно, для ответа на вопрос задачи достаточно найти величину силы Для этого рассмотрим кусок нити, перекинутый через блок. На него действует три силы: искомая сила реакции и две силы натяжения со стороны остальных кусков нити. Этот кусок нити скользит вокруг блока с некоторым ускорением, но поскольку нить невесома, равнодействующая всех сил, действующих на этот кусок, по второму закону Ньютона,должна быть равна нулю,а значит: N минус 2T=0 равносильно N=2T= дробь, числитель — 24mg, знаменатель — 5 =4{,}8mg.

Это и есть окончательный ответ.

Задание 4 № 20014

Каменный блок лежит на горизонтальной кладке стены, оказывая на кладку давление 2500 Па. Площадь грани, на которой лежит блок, равна 740 см². Какова масса блока? Ответ дайте в кг.

Решение.

По определению давление тела равно p= дробь, числитель — F, знаменатель — S . Откуда F=pS. Причём, каменный блок давит своим весом, т. е. F=P=mg. Тогда масса блока равна

m= дробь, числитель — pS, знаменатель — g = дробь, числитель — 2500 умножить на 0,074, знаменатель — 10 =18,5 кг.

Ответ: 18,5.

Задание 29 № 23348

На рисунке изображена механическая система, состоящая из двух идеальных блоков, двух невесомых и нерастяжимых нитей и трёх грузов массами m₁ = 3 кг, m₂ = 2 кг и m₃ = 1 кг, подвешенных на концах нитей. Верхний неподвижный блок затормаживают. Найдите отношение силы натяжения T₂ нити, к которой подвешены грузы m₂ и m₃, к силе натяжения T₁ нити, к которой подвешен груз m₁.

Решение.

1. Изобразим систему, нарисовав силы, действующие на её тела, и введя вертикальную ось координат x, направленную вниз (см. рис.). Силу натяжения одной нити обозначим черезT₁, а второй — через T₂.

2. После затормаживания верхнего неподвижного блока нижний блок также становится неподвижным идеальным блоком, через который перекинута нить, к концам которой подвешены два груза массами m₂ и m₃, то есть получается «машина Атвуда».

3. Запишем уравнения движения грузов m₂ и m₃ (2-й закон Ньютона) в проекции на ось x:m₂g − T₂ = m₂a₂; m₃g − T₂ = m₃a₃.

4. Условие нерастяжимости обеих нитей может быть записано с использованием постоянства их длин, что приводит к уравнению х₂ + х₃ = const, откуда получаем уравнение кинематической связи: a₂ + a₃ = 0 или a₃ = −a₂.

5. Деля первое уравнение движения на m₂, а второе на m₃ и затем складывая их, получаем:g − T₂/m₂ + g − T₂/m₃ = 0, откуда T₂ = 2m₂m₃g/(m₂ + m₃). Поскольку T₁ = m₁g, то

$T_2/T_1 = 2m_2m_3/[m_1(m_2 плюс m_3)> = 2 умножить на 2 умножить на 1/[3 умножить на (2 плюс 1)] = 4/9 \approx 0,44.$

Ответ: $T_2/T_1 = 2m_2m_3/[m_1(m_2 плюс m_3)> \approx 0,44.$

Задание 29 № 3657

Два одинаковых груза массой $M=\text{1}00 г$ каждый подвешены на концах невесомой и нерастяжимой нити, перекинутой через невесомый блок с неподвижной осью. На один из них кладут перегрузок массой $m=\text{2}0 г,$ после чего система приходит в движение. Найдите модуль силы действующей на ось блока во время движения грузов. Трением пренебречь.

Решение.

Запишем, на основании второго закона Ньютона, уравнения движения для обоих грузов в проекции на вертикальную ось, направленную вниз (см. рис.):

$M{{a}_{1}}=Mg минус {{T}_{1}},$ $(M плюс m){{a}_{2}}=(M плюс m)g минус {{T}_{2}}.$

Здесь через a_1 и a_2 обозначены проекции ускорений грузов и (M плюс m) на вертикальную ось, а через T_1 и T_2 — проекции сил натяжения нити на ту же ось.

В силу условия задачи из-за нерастяжимости нити ${{a}_{1}}= минус {{a}_{2}}= минус a,$ а из-за невесомости блока и нити и отсутствия трения ${{T}_{1}}={{T}_{2}}=T.$ Кроме того, в силу третьего закона Ньютона F={F}'=2T (здесь {F}' — сила, действующая на блок со стороны его оси).

Из написанных уравнений получаем:

a= дробь, числитель — m, знаменатель — m плюс 2M g, F=2T=2Mg дробь, числитель — M плюс m, знаменатель — M плюс левая круглая скобка дробь, числитель — m {2, знаменатель — п равая круглая скобка }.

Подставляя числовые данные и проверяя размерность, имеем: $F\approx 2{,}18Н.$

Ответ: $F=2Mg дробь, числитель — M плюс m, знаменатель — M плюс левая круглая скобка дробь, числитель — m {2, знаменатель — п равая круглая скобка }\approx 2{,}18Н.$

Задание 29 № 6068

В системе, изображённой на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 2 кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2,5 кг он движется вниз с ускорением a = 2 м/с². Чему равен коэффициент трения μ между грузом массойm и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.

Решение.

Запишем уравнение движения груза массой в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: откуда сила натяжения нити, перекинутой через подвижный блок, равна T= дробь, числитель — M, знаменатель — 2 (g минус a). Уравнение движения груза массой в проекции на горизонтальную ось, направленную влево, имеет вид: $T минус F_{тр} = ma_{гр}.$ Поскольку в силу нерастяжимости нити смещения грузов массой и массой отличаются, очевидно, в два раза, то $a_{гр}=2a.$

По закону Амонтона — Кулона при скольжении груза массой m по горизонтальной плоскости $F_{тр} = \mu N,$ где сила нормального давления груза на плоскость равна N = mg.

Из написанных уравнений получаем:

$F_{тр} = \mu mg= T минус ma_{гр}$ и

$\mu = дробь, числитель — M, знаменатель — 2m левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — a, знаменатель — g правая круглая скобка минус дробь, числитель — 2a, знаменатель — g = дробь, числитель — 2{,}5, знаменатель — 2 умножить на 2 умножить на левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 10 правая круглая скобка минус дробь, числитель — 2 умножить на 2, знаменатель — 10 = 0{,}5 минус 0{,}4 =0{,}1.$

Ответ: $\mu = дробь, числитель — M, знаменатель — 2m левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — a, знаменатель — g правая круглая скобка минус дробь, числитель — 2a, знаменатель — g = 0{,}1.$

Задание 29 № 6103

В системе, изображённой на рисунке, масса груза, лежащего на шероховатой горизонтальной плоскости, равна m = 3кг. При подвешивании к оси подвижного блока груза массой M = 2кг он движется вниз с ускорением a = 1м/с в степени 2 . Чему равен коэффициент трения μ между грузом массойm и плоскостью? Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует.

Решение.

Запишем уравнение движения груза массой в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: Ma = Mg минус 2T, откуда сила натяжения нити, перекинутой через подвижный блок, равна T= дробь, числитель — M, знаменатель — 2 (g минус a). Уравнение движения груза массой в проекции на горизонтальную ось, направленную влево, имеет вид: $T минус F_{тр} = ma_{гр}.$ Поскольку в силу нерастяжимости нити смещения грузов массой m и массой M отличаются в два раза, то $a_{гр}=2a.$

Из написанных уравнений получаем:

$F_{тр} = \mu mg= T минус ma_{гр},$

$\mu = дробь, числитель — M, знаменатель — 2m левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — a, знаменатель — g правая круглая скобка минус дробь, числитель — 2a, знаменатель — g = дробь, числитель — 2, знаменатель — 2 умножить на 3 левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 10 правая круглая скобка минус дробь, числитель — 2 умножить на 1, знаменатель — 10 = 0{,}3 минус 0{,}2 =0{,}1.$

Задание 4 № 9731

Ступенчатый блок имеет внутренний шкив радиусом 6 см. К нитям, намотанным на внешний и внутренний шкивы, подвешены грузы так, как показано на рисунке. Трение в оси блока отсутствует. Чему равен радиус внешнего шкива блока, если система находится в равновесии? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Так как блок находится в равновесии, то моменты сил, действующих на него должны быть равны:

m_1l_1=m_2l_2.

Найдем отсюда радиус внешнего шкива:

l_2= дробь, числитель — m_1l_1, знаменатель — m_2 = дробь, числитель — 8 умножить на 6, знаменатель — 2 =24см.

Ответ: 24.

Задание 4 № 9763

Ступенчатый блок имеет внешний шкив радиусом 24 см. К нитям, намотанным на внешний и внутренний шкивы, подвешены грузы так, как показано на рисунке. Трение в оси блока отсутствует. Чему равен радиус внутреннего шкива блока, если система находится в равновесии? Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Так как блок находится в равновесии, то моменты сил, действующих на него должны быть равны:

m_1l_1=m_2l_2.

Найдем отсюда радиус внутреннего шкива:

l_2= дробь, числитель — m_1l_1, знаменатель — m_2 = дробь, числитель — 5 умножить на 24, знаменатель — 15 =8см.

Ответ: 8.

Задание 29 № 10962

В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, их участки, не лежащие на блоках, вертикальны, массы грузов равны m₁ = 1 кг, m₂ = 3 кг, m₃ = 0,5 кг. Точки подвеса груза m₂ — однородной горизонтальной балки — находятся на равных расстояниях от её концов. Найдите модуль и направление ускорения груза массой m₃.

Решение.

1. Введём неподвижную декартову систему координат с вертикальной осью ОХ, направленной вниз, причём начало координат поместим на уровне осей верхних блоков, и отметим координаты x₁, x₂, x₃ нижних концов вертикальных участков длинной нити (см. рисунок).

2. Из условия задачи следует, что сила натяжения T длинной нити постоянна по всей её длине, а балка m₂ может двигаться только по вертикали, не наклоняясь. Изобразим на рисунке силы тяжести и силы натяжения нити, действующие на все три тела.

3. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатную осьOX:

m_1a_1=m_1g минус T, m_2a_2=m_2g минус 4T, m_3a_3=m_3g минус T.

4. Длина нерастяжимой нити равна x₁ + 4x₂ + x₃ = const. Отсюда получаем уравнение кинематической связи для проекций ускорений грузов: a₁ + 4a₂ + a₃ = 0.

5. Выражая ускорения из первых трёх уравнений движения и подставляя их в уравнение кинематической связи, определяем T, а затем, подставляя T в третье уравнение движения, находим a₃:

$a_3=g умножить на дробь, числитель — 16m_1m_3 плюс m_2m_3 минус 5m_1m_2, знаменатель — 16m_1m_3 плюс m_1m_2 плюс m_2m_3 =10 умножить на дробь, числитель — 8 плюс 1{,}5 минус 15, знаменатель — 8 плюс 3 плюс 1{, 5}= минус 4{,}4м/с в степени 2 .$

Ответ: $|a_3|=4{,}4м/с в степени 2 ,$ ускорение направлено вверх.

Задание 29 № 11003

Решение.

3. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на координатную осьOX:

m_1a_1=m_1g минус T; m_2a_2=m_2g минус 4T; m_3a_3=m_3g минус T.

4. Длина нерастяжимой нити равна x₁ + 4x₂ + x₃ = const. Отсюда получаем уравнение кинематической связи для ускорений грузов: a₁ + 4a₂ + a₃ = 0.

5. Выражая ускорения из первых трёх уравнений движения и подставляя их в уравнение кинематической связи, определяем T, а затем, подставляя T в первое уравнение движения, находим a₁:

a_1=g умножить на дробь, числитель — 16m_1m_3 плюс m_1m_2 минус 5m_2m_3, знаменатель — 16m_1m_3 плюс m_1m_2 плюс m_2m_3 =10 умножить на дробь, числитель — 8 плюс 3 минус 7,5, знаменатель — 8 плюс 3 плюс 1,5 =2,8 м/с².

Ответ: a_1=g умножить на дробь, числитель — 16m_1m_3 плюс m_1m_2 минус 5m_2m_3, знаменатель — 16m_1m_3 плюс m_1m_2 плюс m_2m_3 =2,8 м/с². Ускорение направлено вниз.

Задание 29 № 4367

На зиму в подмосковном яхт-клубе катера и яхты вытаскивают на берег по бетонному «слипу», то есть наклонной плоскости, уходящей под воду. Под плавающее судно помещают под водой лёгкую тележку, которая практически без трения может кататься по слипу, и при помощи лебёдки и системы блоков вытаскивают судно, поднимая его над уровнем воды.

Найдите максимальное водоизмещение судна, которое можно медленно вытащить из воды при помощи показанной на рисунке системы простых механизмов, если лебёдка даёт выигрыш в силе в n=5 раз, к её ручке прикладывают максимальную силу f=250H, а угол наклона слипа к горизонту равен $\alpha =0,1$ рад. Трением можно пренебречь.

Примечания: водоизмещением называется масса воды, вытесняемой судном (измеряется обычно в тоннах); при углах $\alpha меньше или равно 0,1$ рад можно считать $синус \alpha \approx \alpha .$

Решение.

Способ 1.

Известно, что простые механизмы не дают выигрыша в работе.

Найдем работу по поднятию судна массой (и водоизмещением) над уровнем воды. Пусть вначале судно имеет осадку (это глубина погружения его дна от уровня воды). Начальная сила, которую прикладывают для его поднятия, равна нулю (судно плавает). В конце подъёма из воды поднимающая судно сила должна равняться mg. По мере подъёма прикладываемую силу нужно увеличивать по линейному закону. Поэтому средняя сила, необходимая для подъёма судна на высоту из воды, равна дробь, числитель — mg, знаменатель — 2 , а работа по подъему равна A= дробь, числитель — mgh, знаменатель — 2 .

Эта же работа может быть записана следующим образом: A=f умножить на дробь, числитель — L, знаменатель — 2 , где f меньше или равно 250H — максимальная сила, прикладываемая к ручке лебёдки, a — перемещение конца этой ручки при подъёме судна из воды. Здесь коэффициент дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 также возникает из-за того, что сила при подъёме судна меняется от до

Как видно из рисунка, L=nl=n умножить на 8S, где — длина троса, намотанного на вал лебёдки, а — перемещение судна вдоль слипа, равное, очевидно, $дробь, числитель — h, знаменатель — \alpha .$ Приравнивая выражения для работы, получаем $дробь, числитель — mgh, знаменатель — 2 \approx дробь, числитель — fn умножить на 8h, знаменатель — 2\alpha ,$ и окончательно

$m\approx дробь, числитель — 8fn, знаменатель — g\alpha = дробь, числитель — 8 умножить на 250 умножить на 5, знаменатель — 10 умножить на 0,1 =10000$ кг =10 тонн.

Способ 2.

Ясно, что максимальную силу к ручке лебёдки нужно будет прикладывать тогда, когда судно окажется полностью извлечённым из воды. Поскольку лебёдка даёт выигрыш в силе в раз, а система из трёх подвижных блоков — еще в раз, то на судно со стороны прикреплённого к нему троса будет действовать сила F=8nf. При медленном подъёме судна по сухой наклонной плоскости, в соответствии со вторым законом Ньютона,

$F=8nf=mg синус \alpha \approx mg\alpha ,$ откуда $m\approx дробь, числитель — 8fn, знаменатель — g\alpha =10$ тонн.

Когда судно находится в воде, сила тяжести должна уравновешиваться силой Архимеда:

$mg=\rho_в g V=m_в g.$

Где $\rho_в, m_в$ — соответственно плотность воды и масса вытесненной воды. Таким образом, водоизмещение, то есть масса вытесненной воды, равна массе судна.

Ответ: 10 тонн.

Задание 29 № 6781

Система грузов M, m₁ и m₂, показанная на рисунке, движется из состояния покоя. Поверхность стола — горизонтальная гладкая. Коэффициент трения между грузами M и m₁ равен μ = 0,3. Грузы M и m₂связаны легкой нерастяжимой нитью, которая скользит по блоку без трения. Пусть M = 2,4 кг, m₁ = m₂ = m. При каких значениях m грузы M и m₁движутся как одно целое? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на грузы.

Решение.

1. Пока грузы и m_1 движутся как одно целое, будем считать их одним телом M плюс m сложной формы. На рисунке показаны внешние силы, действующие на это тело и на груз m_2.

2. Будем считать систему отсчета, связанную со столом, инерциальной. Запишем второй закон Ньютона для каждого из тел в проекциях на оси и введенной системы координат:

система выражений новая строка Ox: (M плюс m)a_1=T_1, новая строка Oy: ma_2=mg минус T_2. конец системы .

Учтём, что T_1=T_2=T (нить лёгкая, скользит по блоку без трения), a_1=a_2=a (нить нерастяжима), и сложим уравнения. Получим: (M плюс 2m)a=mg, откуда a=g дробь, числитель — m, знаменатель — M плюс 2m .

3. Рассмотрим груз m_1 отдельно. Запишем для него второй закон Ньютона в проекциях на оси и и учтём, что груз m_1 покоится относительно груза

$система выражений новая строка Ox:m_1a=F_{тр}, новая строка Oy:m_1g минус N_1=0, новая строка F_{тр}\leqslant \mu N_1. конец системы .$

Получим: $ma \leqslant \mu N_1=\mu mg,$ откуда $a=g дробь, числитель — m, знаменатель — M плюс 2m \leqslant \mu g.$ Решая неравенство $дробь, числитель — m, знаменатель — M плюс 2m \leqslant \mu$ относительно получим: $m \leqslant дробь, числитель — \mu M, знаменатель — 1 минус 2\mu =1{,}8кг.$

Ответ: $m \leqslant 1{,}8кг.$

Задание 4 № 7104

На рисунке изображена система, состоящая из невесомого рычага и идеального блока. Масса груза 100 г. Какова величина силы F, если система находится в равновесии? (Ответ дайте в ньютонах.) Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Решение.

На рычаг действуют две силы - сила $\vec F,$ действующая вниз и сила натяжения нити $\vec N,$ действующая вверх. Для того, чтобы система находилась в равновесии необходимо, чтобы моменты этих двух сил были равны по модулю: $F умножить на l_{1}=N умножить на l_{2},$ где $l_{1}$ и $l_{2}$ — соответствующие плечи. Т.е. $F= дробь, числитель — l_{2}, знаменатель — l_{1 }N=2N.$

Рассмотрим идеальный блок: сила натяжения нити равна силе тяжести, действующей на груз $N=F_{тяж}=mg=0{,}1кг умножить на 10 м/с в степени 2 = 1Н.$ Получаем, что F=2N=2Н.

Ответ: 2.

Задание 28 № 11680

Очень лёгкая рейка уравновешена в горизонтальном положении. Правым концом она прикреплена к шарниру O. К левому концу рейки прикреплена невесомая нерастяжимая нить, которая натягивается с помощью невесомого подвижного блока, к оси которого подвешен груз массой 20 г. К средней части рейки прикреплён воздушный шарик, наполненный лёгким газом. Определите объём этого шарика, пренебрегая массой его оболочки и массой газа, находящегося в шарике. Плотность атмосферного воздуха 1,2 кг/м³. Ответ приведите в литрах.

Решение.

Расставим силы, действующие на рейку. Рейка находится в покое, следовательно, моменты всех сил уравновешены: T умножить на 3L = F_А умножить на 2L, откуда F_А = дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 T.

Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, следовательно, T = дробь, числитель — mg, знаменатель — 2 . Запишем силу Архимеда: $F_А = \rho gV.$ Подставляя эти выражения в уравнение для связи силы Архимеда и силы натяжения получаем: $\rho g V = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 mg,$ откуда

$V = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 дробь, числитель — m, знаменатель — \rho = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 умножить на дробь, числитель — 20 умножить на 10 в степени минус 3 кг, знаменатель — 1,2кг/м в степени 3 = 12,5 умножить на 10 в степени минус 3 м в степени 3 = 12,5л.$

Ответ: 12,5 л.

Задание 28 № 11864

Очень лёгкая рейка уравновешена в горизонтальном положении. Левым концом она прикреплена к шарниру O. Средняя часть рейки прикреплена вертикальной нитью к оси невесомого подвижного блока, через который переброшена другая нить — один её конец неподвижно закреплён, а к другому подвешен груз массой 18 г. К правому концу рейки прикреплён воздушный шарик, наполненный лёгким газом. Определите объём этого шарика, пренебрегая массой его оболочки и массой газа, находящегося в шарике. Плотность атмосферного воздуха 1,2 кг/м³. Ответ приведите в литрах.

Решение.

Расставим силы, действующие на рейку. Рейка находится в покое, следовательно, моменты всех сил уравновешены: T умножить на L = F_А умножить на 3L, откуда F_А = дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 T.

Подвижный блок даёт выигрыш в силе в два раза, следовательно, T = 2mg. Запишем силу Архимеда: $F_А = \rho gV.$ Подставляя эти выражения в уравнение для связи силы Архимеда и силы натяжения получаем: $\rho g V = дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 mg,$ откуда

$V = дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 дробь, числитель — m, знаменатель — \rho = дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 умножить на дробь, числитель — 18 умножить на 10 в степени минус 3 кг, знаменатель — 1,2кг/м в степени 3 = 10 умножить на 10 в степени минус 3 м в степени 3 = 10л.$

Ответ: 10 л.

Задание 29 № 23316

На рисунке изображена механическая система, состоящая из двух идеальных блоков, двух невесомых и нерастяжимых нитей и трёх грузов массами m₁ = 3 кг, m₂ = m₃ = 2 кг, подвешенных на концах нитей. Определите, чему равна сила натяжения T₁ нити, к которой подвешен груз m₁.

Решение.

1. Изобразим систему, нарисовав силы, действующие на её тела, и введя вертикальную ось координат x, направленную вниз (см. рис.). Силу натяжения второй нити обозначим черезT₂. Как следует из условия, силы натяжения нитей по обе стороны каждого из блоков одинаковы, и T₁ = 2T₂.

2. Запишем уравнения движения системы (2-й закон Ньютона) в проекции на ось x: m₁g −T₁ = m₁a₁; m₂g − T₂ = m₂a₂; m₃g − T₂ = m₃a₃.

3. Условие нерастяжимости обеих нитей может быть записано с использованием постоянства их длин, что приводит к уравнению 2х₁ + х₂ + х₃ = const, откуда получаем уравнение кинематической связи: 2a₁ + a₂ + a₃ = 0.

4. Поскольку по условию m₂ = m₃, то и ускорения этих грузов одинаковы: a₂ = a₃ = −a₁. Складывая уравнения движения этих грузов, получаем: 2m₂g − T₁ = −2m₂a₁, то есть можно считать, что справа просто подвешен груз массой 2m₂.

5. Деля первое уравнение движения на m₁, а последнее на 2m₂ и затем складывая их, получаем: g − T₁/m₁ + g −T₁/(2m₂) = 0, откуда T₁ = 4m₁m₂g/(m₁ + 2m₂) = 4 3 2 10/(3 + 2 2) = 240/7 ≈ 34,3 Н.

Ответ: $T_1=4m_1m_2g/(m_1 плюс 2m_2)=240/7 \approx 34,3Н.$

Задание 29 № 5489

В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту h, и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика m, масса бруска М, длина свисающей части нити L, коэффициент трения между бруском и поверхностью $\mu.$ Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

Решение.

1. На брусок B, пока он не пришёл в движение, действует сила тяжести $M\vec{g},$ сила реакции опоры $\vec{N},$ сила натяжения нити $\vec{T_1}$ и сила трения покоя $\vec{F}_{тр},$ максимальное значение которой $\vec{F}_{трmax}=\mu N.$ Для того, чтобы он пришёл в движение, должно выполняться условие $T_1\ge\mu N.$

На грузик А в нижней точке траектории действует сила тяжести $m\vec{g},$ сила натяжения нити $\vec{T_2},$ модуль которой равен модулю силы $\vec{T_1}$ и равен При этом грузик в этой точке движется со скоростью и на него действует центростремительное ускорение $\vec{a},$ направленное по радиусу к центру окружности и равное дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — R = дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — L .

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях:

$система выражений Mg=N,T=\mu N,T минус mg=m дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — L . конец системы равносильно \mu Mg=m левая круглая скобка g плюс дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — L правая круглая скобка .$

3. По закону сохранения энергии потенциальная энергия грузика, поднятого на высоту равна кинетической энергии грузика в нижней точке траектории:

mgh=m дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — 2 равносильно v в степени 2 =2gh.

4. С учётом условия движения бруска получаем

$m левая круглая скобка g плюс дробь, числитель — 2gh, знаменатель — L правая круглая скобка \ge\mu Mg равносильно h\ge( дробь, числитель — \mu M, знаменатель — m минус 1) дробь, числитель — L, знаменатель — 2 .$

Ответ: $h=( дробь, числитель — \mu M, знаменатель — m минус 1) дробь, числитель — L, знаменатель — 2 .$

Задание 29 № 5559

В установке, изображённой на рисунке, грузик А соединён перекинутой через блок нитью с бруском В, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на высоту h, и отпускают. Длина свисающей части нити равна L. Какую величину должна превзойти масса грузика, чтобы брусок сдвинулся с места в момент прохождения грузиком нижней точки траектории? Масса бруска М, коэффициент трения между бруском и поверхностью $\mu.$ Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь.

Решение.

1. На брусок B, пока он не пришёл в движение, действуют сила тяжести $M\vec{g},$ сила реакции опоры $\vec{N},$ сила натяжения нити $\vec{T}_1$ и сила трения покоя $\vec{F}_{тр},$ максимальное значение которой $F_{трмакс}=\mu N.$ Для того чтобы он пришёл в движение, должно выполняться условие $T_1\ge\mu N.$

На грузик А в нижней точке траектории действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}_2,$ модуль которой равен модулю силы $\vec{T}_1$ и равен При этом грузик в этой точке движется со скоростью то есть он движется с центростремительным ускорением $\vec{a},$ направленным по радиусу к центру окружности и равным дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — R = дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — L .

2. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекциях:

$система выражений Mg=N,T=\mu N,T минус mg=m дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — L конец системы равносильно \mu Mg=m левая круглая скобка g плюс дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — L правая круглая скобка .$

mgh=m дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — 2 равносильно v в степени 2 =2gh.

4. С учётом условия движения бруска получаем

$m левая круглая скобка g плюс дробь, числитель — 2gh, знаменатель — L правая круглая скобка \ge\mu Mg равносильно m больше или равно дробь, числитель — \mu ML, знаменатель — L плюс 2h .$

Ответ: $m= дробь, числитель — \mu ML, знаменатель — L плюс 2h .$

Задание 29 № 6837

В системе, изображённой на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 11 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,25). Найдите ускорение a₁ грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.

Решение.

Для описания движения данной системы тел выбираем неподвижную систему отсчёта, одна ось () которой направлена вертикально вниз, куда может двигаться грузик а другая () — по горизонтали справа налево, в направлении возможного движения груза массой Обозначим силу натяжения первой нити через а второй — через (см. рисунок).

Тогда в проекциях на выбранные оси координат уравнения движения двух тел системы имеют вид:

$mg минус T=ma_1,F минус F_{тр}=Ma_2.$

В силу условия задачи можно считать, что сила натяжения вдоль всей первой нити одинакова и равна а сила натяжения второй нити F = 3T. Если груз сдвинется влево на расстояние то грузик очевидно, за счёт укорочения трёх горизонтальных участков первой нити сдвинется вниз на расстояние 3x. Поэтому уравнение кинематической связи для ускорений тел имеет вид: a_1 = 3a_2. При движении данной системы тел, если полученное значение a_1 больше 0, сила трения скольжения, действующая на груз будет равна по закону Амонтона — Кулона $F_{тр}=\mu Mg.$

Подставляя в исходную систему уравнений эти выражения, имеем:

$T=mg минус 3ma_2,3T минус \mu Mg=Ma_2.$

Или $3mg минус 9ma_2 минус \mu Mg=Ma_2,$ откуда

$a_2= дробь, числитель — 3m минус \mu M, знаменатель — 9m плюс M g, a_1=3a_2=3 дробь, числитель — 3m минус \mu M, знаменатель — 9m плюс M g=3 дробь, числитель — 3 умножить на 1 минус 0,25 умножить на 11, знаменатель — 9 умножить на 1 плюс 11 умножить на 10м/с в степени 2 =0,375м/с в степени 2 больше 0.$

Так что тела действительно будут двигаться.

Ответ: $a_1=3 умножить на дробь, числитель — 3m минус \mu M, знаменатель — 9m плюс M g=0,375м/с в степени 2 .$

Задание 29 № 6870

В системе, изображённой на рисунке, грузик массой m = 1 кг подвешен на нити, охватывающей три блока, второй конец которой привязан к оси самого правого блока (см. рис.). К этой же оси привязана другая нить, соединяющаяся с грузом массой M = 10 кг, лежащим на шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения груза о плоскость равен μ = 0,3). Найдите ускорение a₁ грузика m. Считайте, что нити невесомы и нерастяжимы, свободные участки нитей вертикальны или горизонтальны, блоки невесомы, а трение в их осях отсутствует.

Решение.

Для описания движения данной системы тел выбираем неподвижную систему отсчёта, одна ось (y) которой направлена вертикально вниз, куда может двигаться грузик а другая (x) — по горизонтали справа налево, в направлении возможного движения груза массой Обозначим силу натяжения первой нити через а второй — через (см. рисунок).

Тогда в проекциях на выбранные оси координат уравнения движения двух тел системы имеют вид:

$mg минус T=ma_1,F минус F_{тр}=Ma_2.$

Подставляя в исходную систему уравнений эти выражения, имеем:

$T=mg минус 3ma_2,3T минус \mu Mg=Ma_2.$

Или $3mg минус 9ma_2 минус \mu Mg=Ma_2,$ откуда

$a_2= дробь, числитель — 3m минус \mu M, знаменатель — 9m плюс M g, a_1=3a_2=3 умножить на дробь, числитель — 3m минус \mu M, знаменатель — 9m плюс M g=3 умножить на дробь, числитель — 3 умножить на 1 минус 0{,}3 умножить на 10, знаменатель — 9 умножить на 1 плюс 10 =0.$

Так что тела двигаться с ускорением не будут.

Ответ: $a_1=3 умножить на дробь, числитель — 3m минус \mu M, знаменатель — 9m плюс M g=0.$

Задание 28 № 9161

К потолку подвешен лёгкий неподвижный блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, на концах которой прикреплены два одинаковых груза массой 6 кг каждый. Трение отсутствует. Один из грузов склеен из двух частей, и в некоторый момент времени от него отваливается часть массой 2 кг. Каково будет ускорение этого груза в процессе начавшегося движения?

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для одного груза и для другого:

система выражений минус Mg плюс T= минус Ma, минус mg плюс T=ma конец системы .

a= дробь, числитель — Mg минус mg, знаменатель — M плюс m = дробь, числитель — 20, знаменатель — 10 =2м/с в степени 2

Ответ: 2.

Задание 28 № 9192

К потолку подвешен лёгкий неподвижный блок. Через блок перекинута невесомая и нерастяжимая нить, на концах которой прикреплены два одинаковых груза массой 3 кг каждый. Трение отсутствует. Один из грузов склеен из двух частей, и в некоторый момент времени от него отваливается часть массой 2 кг. Каково будет ускорение этого груза в процессе начавшегося движения? Ответ дайте в м/с².

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для одного груза и для другого:

система выражений минус Mg плюс T= минус Ma, минус mg плюс T=ma. конец системы .

Вычтем из второго равенства первое и выразим ускорение:

Mg минус mg=(M плюс m)a равносильно

равносильно a= дробь, числитель — (M минус m)g, знаменатель — M плюс m = дробь, числитель — (3 минус 1) умножить на 10, знаменатель — 3 плюс 1 =5м/с в степени 2 .

Ответ: 5.

Задание 28 № 738

По горизонтальному столу из состояния покоя движется брусок массой 0,8 кг, соединенный с грузом массой 0,2 кг невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок (см. рисунок). Груз движется с ускорением $1,2\text{м}/{{с} в степени 2 }.$ Чему равен коэффициент трения бруска о поверхность стола?

Решение.

Второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось приобретает вид:

mg минус T=ma,

где T есть сила натяжения нити. Для бруска имеем:

$T минус {{F}_{тр}}=Ma,$ ${{F}_{тр}}=\mu Mg.$

Следовательно,

$\mu = дробь, числитель — m, знаменатель — M минус дробь, числитель — M плюс m, знаменатель — M умножить на дробь, числитель — a, знаменатель — g = дробь, числитель — 0,2\text{кг}, знаменатель — 0,8\text{кг } минус дробь, числитель — 0,8\text{кг} плюс 0,2\text{кг}, знаменатель — 0,8\text{кг } умножить на дробь, числитель — 1,2\text{м/с, знаменатель — {\text{ } в степени 2 }}{10\text{м/с}{{\text{}} в степени 2 }}=0,1.$

Ответ: 0,1.

Задание 28 № 743

Груз, лежащий на столе, связан легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный блок, с грузом массой 0,25 кг. На первый груз действует горизонтальная постоянная сила $\vec{F}$ равная по модулю 9 Н (см. рисунок). Второй груз начал двигаться с ускорением 2{м}/{{{с} в степени 2 }}, направленным вверх. Трением между грузом и поверхностью стола пренебречь. Какова масса первого груза? Ответ приведите в килограммах.

Решение.

Поскольку грузы связаны нерастяжимой нитью, их ускорения совпадают. Второй закон Ньютона для первого груза в проекции на горизонтальную ось приобретает вид F минус T=Ma, где M — искомая масса, а T — сила натяжения нити. Для второго груза в проекции на вертикальную ось имеем: T минус mg=ma. Решая эту систему уравнений, получаем значение массы первого груза

$M= дробь, числитель — F минус m левая круглая скобка g плюс a правая круглая скобка , знаменатель — a = дробь, числитель — 9\text{Н} минус 0,25\text{кг} умножить на левая круглая скобка 10\text{м/с, знаменатель — {\text{ } в степени \text{2 }} плюс 2\text{м/с}{{\text{}} в степени \text{2 }} правая круглая скобка }{2\text{м/с}{{\text{}} в степени \text{2 }}}=3\text{кг}.$

Ответ: 3.

Задание 28 № 3409

Брусок массой М = 300 г соединен с грузом массой m = 200 г невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок). Брусок скользит без трения по неподвижной наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равно ускорение груза m? Ответ приведите в м/с².

Решение.

Поскольку нить нерастяжимая, бруски двигаются с одинаковым ускорением. Невесомость нити означает, что натяжение нити постоянно по всей ее длине, а значит, нить действует на бруски с одинаковой по величине силой Выпишем второй закон Ньютона для бруска массой в проекции на ось, направленную вверх вдоль наклонной плоскости: $T минус Mg синус \alpha =Ma.$ Для второго бруска выпишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: mg минус T=ma. Решая систему из двух последних уравнений, находим выражение для ускорения $a= дробь, числитель — (m минус M синус \alpha)g, знаменатель — m плюс M = дробь, числитель — (0{,}2 минус 0{,}3 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ) умножить на 10, знаменатель — { 0{,}2 плюс 0{,}3}=1м/с в степени 2 .$

Ответ: 1.

Задание 28 № 3411

Брусок массой М = 300 г соединен с бруском массой m = 200 г невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок). Чему равен модуль ускорения бруска массой 200 г? Ответ приведите в м/с².

Решение.

Поскольку нить нерастяжимая, бруски двигаются с одинаковым ускорением. Невесомость нити означает, что натяжение нити постоянно по всей её длине, а значит, нить действует на бруски с одинаковой силой Выпишем второй закон Ньютона для брусков в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

T минус Mg= минус Ma,

T минус mg=ma.

Решая систему из двух уравнений, находим выражение для ускорения

a= дробь, числитель — (M минус m)g, знаменатель — M плюс m = дробь, числитель — (0{,}3 минус 0{,}2) умножить на 10, знаменатель — 0{, 3 плюс 0{,}2}=2м/с в степени 2 .

Ответ: 2.

Задание 28 № 3445

По гладкому горизонтальному столу из состояния покоя движется массивный брусок, соединенный с грузом массой 0,4 кг невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок (см. рисунок). Ускорение груза равно $\text{2}м/{{с} в степени \text{2 }}.$ Чему равна масса бруска? Ответ укажите в килограммах с точностью до одного знака после запятой.

Решение.

Поскольку грузы связаны нерастяжимой нитью, они двигаются с одинаковыми ускорениями. Невесомость нити означает, что сила натяжения нити постоянна по всей длине, на оба груза нить действует с одинаковой по величине силой Выпишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на горизонтальную ось: T=Ma, где — искомая масса бруска. Второй закон Ньютона для груза: mg минус T=ma. Решая систему из двух последних уравнений, для массы бруска получаем $M= дробь, числитель — m левая круглая скобка g минус a правая круглая скобка , знаменатель — a = дробь, числитель — 0,4кг умножить на левая круглая скобка 1\text{0}м/с в степени 2 минус 2м/с в степени 2 правая круглая скобка , знаменатель — 2м/с в степени 2 =1,6кг.$

Ответ: 1,6.

Задание 28 № 3447

По гладкому горизонтальному столу из состояния покоя движется брусок массой 1,6 кг, соединенный с грузом массой 0,4 кг невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок (см. рисунок). Каково ускорение груза? Ответ приведите в м/с².

Решение.

Поскольку грузы связаны нерастяжимой нитью, они двигаются с одинаковыми ускорениями. Невесомость нити означает, что сила натяжения нити постоянна по всей длине, на оба груза нить действует с одинаковой по величине силой Выпишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на горизонтальную ось: T=Ma, где —масса бруска, а — искомое ускорение. Второй закон Ньютона для груза: mg минус T=ma. Решая систему из двух последних уравнений, для ускорения груза бруска получаем $a= дробь, числитель — mg, знаменатель — m плюс M = дробь, числитель — 0,4 умножить на 1\text{0}, знаменатель — 0,4 плюс 1,6 =2м\text{/}{{\text{c}} в степени \text{2 }}.$

Ответ: 2.

Задание 32 № 3678

В одном из вариантов опыта, поставленного А. К. Тимирязевым для демонстрации закона сохранения и превращения энергии, груз массой m=1кг, подвешенный на шнурке, перекинутом через блок, опускался с постоянной скоростью v=1м/с , вращая динамо-машину, на вал которой был намотан другой конец шнурка. Динамо-машина питала электрическую лампочку, рассчитанную на напряжение U=6В и ток I=0{,}5А, причём лампочка горела с нормальным накалом. Каков был КПД $\eta$ превращения механической энергии в электрическую, выделяющуюся в лампочке в виде света и теплоты?

Решение.

КПД установки равен отношению электрической мощности лампочки к механической мощности, развиваемой при опускании гири: $\eta = дробь, числитель — P_{эл}, знаменатель — P_{мех }.$ Электрическая мощность равна

$P_{эл}=IU=0{,}5А умножить на 6В =3Вт,$

а механическая мощность при постоянной скорости движения гири равна

$P_{мех}=mgv=1кг умножить на 10м/с в степени 2 умножить на 1м/с=10 Вт.$

Таким образом, $\eta = дробь, числитель — IU, знаменатель — mgv = дробь, числитель — 3, знаменатель — 10 =0{,}3=30\%.$

Ответ: КПД установки равен $\eta = дробь, числитель — IU, знаменатель — mgv =0{,}3=30\%.$

Задания Д12 B23 № 5374

Массивный груз, покоящийся на горизонтальной опоре, привязан к лёгкой нерастяжимой верёвке, перекинутой через идеальный блок. К верёвке прикладывают постоянную силу $\vec{F},$ направленную под углом а = 45 в степени circ к горизонту (см. рисунок). Зависимость модуля ускорения груза от модуля силы $\vec{F}$ представлена на графике. Чему равна масса груза?

1) 0,85 кг

2) 0,42 кг

3) 0,60 кг

4) 6,0 кг

Решение.

По второму закону Ньютона $\vec{R}=m\vec{a}.$ Груз начнёт двигаться вверх, когда сила натяжения нити, равная по модулю силе и независящая от угла, станет больше силы тяжести mg, действующей на груз. Тогда второй закон Ньютона запишется как F минус mg=ma, откуда выражаем массу груза: m= дробь, числитель — F, знаменатель — g плюс a . Подставим значения из любой точки графика с ненулевым ускорением, например $F=8Н,a\approx3,2м/с в степени 2 ,$ и получим $m\approx0,6кг.$

Ответ: 3.

Задание 28 № 6777

По горизонтальному столу из состояния покоя движется брусок массой 0,6 кг, соединенный с грузом массой 0,15 кг невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок (см. рисунок). Груз движется с ускорением 0,4 м/с². Определите коэффициент трения бруска о поверхность стола.

Решение.

Пусть масса бруска равна m_1, а груза — m_2. Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

m_2a=m_2g минус T,

откуда

T=m_2(g минус a).

Запишем второй закон Ньютона для бруска в проекции на горизонтальную ось:

$m_1a=T минус F_{тр}=m_2(g минус a) минус \mu N=m_2(g минус a) минус \mu m_1g,$

откуда коэффициент трения бруска о поверхность:

$\mu= дробь, числитель — m_2 (g минус a) минус m_1a, знаменатель — m_1g = дробь, числитель — 0{,}15 умножить на (10 минус 0{,}4) минус 0{,}6 умножить на 0{,}4, знаменатель — 0{, 6 умножить на 10}=0{,}2.$

Ответ: 0,2.

Задание 29 № 7965

Тележку массой 1 кг, находящуюся на горизонтальной поверхности, толкнули вбок, она стала двигаться равнозамедленно с ускорением 0{,}5м/с в степени 2 . После этого к тележке подвесили груз на перекинутой через блок невесомой и нерастяжимой нити, она стала двигаться равномерно. Найдите массу груза.

Решение.

Рассмотрим первый случай. На тележку действуют три силы: тяжести, трения и реакция опоры. Согласно второму закону Ньютона $M\vec{a}=M\vec{g} плюс \vec{F}_{тр} плюс \vec{N}.$ Запишем проекции на горизонтальную и вертикальную оси:

$система выражений { минус Ma}= минус F_{тр},0=N минус Mg. конец системы$

Сила трения связана с силой реакции опоры соотношением $F_{тр}=\mu N,$ откуда

$Ma=F_{тр} = \mu N= \mu Mg равносильно \mu= дробь, числитель — a, знаменатель — g = дробь, числитель — 0{,}5, знаменатель — 10 =0{,}05.$

Рассмотрим теперь второй случай. Так как тело движется равномерно, его ускорение равно нулю. Нить нерастяжима, поэтому груз также двигается равномерно. Запишем второй закон Ньютона для тележки и груза

$система выражений M\vec{g} плюс \vec{F}_{тр} плюс \vec{N} плюс \vec{T}_1=0,m\vec{g} плюс \vec{T}_2=0. конец системы равносильно система выражений N минус Mg=0, T_1 минус {F}_{тр}=0, T_2 минус mg=0. конец системы$

Нить невесома, поэтому T_1=T_2. В итоге получаем

$m=\mu M=0{,}05 умножить на 1 = 0{,}05кг.$

Ответ: 0,05 кг.

Задание 23 № 8713

Массивный груз, покоящийся на горизонтальной опоре, привязан к лёгкой нерастяжимой верёвке, перекинутой через идеальный блок. К верёвке прикладывают постоянную силу $\vec{F},$ направленную под углом $\alpha = 30 в степени circ$ к горизонту (см. рисунок). Зависимость модуля ускорения груза от модуля силы $\vec{F}$ представлена на графике. Чему равна масса груза? (Ответ дайте в кг с точностью до десятых.)

Решение.

По второму закону Ньютона $\vec{T}=m\vec{a}.$ Груз начнёт двигаться вверх, когда сила натяжения нити равная по модулю силе и независящая от угла, станет больше силы тяжести mg, действующей на груз. Тогда второй закон Ньютона запишется как F минус mg=ma, откуда выражаем массу груза: m= дробь, числитель — F, знаменатель — g плюс a . Подставим значения из любой точки участка графика с наклоном ( $F \geqslant 3Н$ ), например, F=3Н, a=0м/с в степени 2 , и получим m=0{,}3кг.

Ответ: 0,3.

Задание 23 № 8714

Массивный груз, покоящийся на горизонтальной опоре, привязан к лёгкой нерастяжимой верёвке, перекинутой через идеальный блок. К верёвке прикладывают постоянную силу $\vec{F},$ направленную под углом $\alpha = 45 в степени circ$ к горизонту (см. рисунок). Зависимость модуля ускорения груза от модуля силы $\vec{F}$ представлена на графике. Чему равна масса груза? (Ответ дайте в кг с точностью до десятых.)

Решение.

По второму закону Ньютона $\vec{R}=m\vec{a}.$ Груз начнёт двигаться вверх, когда сила натяжения нити, равная по модулю силе и независящая от угла, станет больше силы тяжести mg, действующей на груз. Тогда второй закон Ньютона запишется как F минус mg=ma, откуда выражаем массу груза: m= дробь, числитель — F, знаменатель — g плюс a . Подставим значения из любой точки графика с ненулевым ускорением, например F=10Н, $a\approx7м/с в степени 2 ,$ и получим $m\approx0{,}6кг.$

Ответ: 0,6.

Задание 29 № 8959

В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, m₁ = 2 кг, m₂ = 4 кг, m₃ = 1 кг. Найдите модуль и направление ускорения $\vec{a}_3$ груза массой m₃.

Решение.

1. Введём на рисунке неподвижную систему координат, у которой ось xгоризонтальна и направлена вправо, а ось y направлена вертикально вниз. Обозначим также силы, определяющие ускорения тел вдоль направлений их движения: силу T натяжения нити, которая, как следует из условия задачи, постоянна по модулю вдоль всей нити, и силу тяжести m_3g.

2. Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y для трёх грузов, имеем:

m_1a_1 = T, m_2a_2 = минус 2T, m_3a_3 = m_3g минус T.

3. Поскольку нить нерастяжима, из постоянства её длины получаем следующее соотношение для координат грузов:

x_2 минус x_1 плюс x_2 минус x_0 плюс y_3 минус y_0 = const.

Отсюда следует связь между ускорениями грузов: 2a_2 минус a_1 плюс a_3 = 0.

4. Решая полученную систему уравнений, находим модуль искомого ускорения:

a_3= дробь, числитель — m_3(4m_1 плюс m_2)g, знаменатель — m_1m_2 плюс m_2m_3 плюс 4m_1m_3 =6м/с в степени 2 ,

вектор $\vec{a}_3$ направлен вниз.

Ответ: a_3= дробь, числитель — m_3(4m_1 плюс m_2)g, знаменатель — m_1m_2 плюс m_2m_3 плюс 4m_1m_3 =6м/с в степени 2 , вектор $\vec{a}_3$ направлен вниз.

Задание 29 № 9010

В системе, изображённой на рисунке, трения нет, блоки невесомы, нить невесома и нерастяжима, m₁ = 1 кг, m₂ = 2 кг, m₃ = 3 кг. Найдите модуль и направление ускорения $\vec{a}_3$ груза массой m₃.

Решение.

2. Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси x и y для трёх грузов, имеем:

m_1a_1 = T, m_2a_2 = минус 2T, m_3a_3 = m_3g минус T.

3. Поскольку нить нерастяжима, из постоянства её длины получаем следующее соотношение для координат грузов:

x_2 минус x_1 плюс x_2 минус x_0 плюс y_3 минус y_0 = const.

Отсюда следует связь между ускорениями грузов: 2a_2 минус a_1 плюс a_3 = 0.

4. Решая полученную систему уравнений, находим модуль искомого ускорения:

a_3= дробь, числитель — m_3(4m_1 плюс m_2)g, знаменатель — m_1m_2 плюс m_2m_3 плюс 4m_1m_3 =9м/с в степени 2 ,

вектор $\vec{a}_3$ направлен вниз.

Ответ: a_3= дробь, числитель — m_3(4m_1 плюс m_2)g, знаменатель — m_1m_2 плюс m_2m_3 плюс 4m_1m_3 =9м/с в степени 2 , вектор $\vec{a}_3$ направлен вниз.

Задание 29 № 10201

На горизонтальном шероховатом столе лежит брусок массой m₁ = 2 кг, соединённый через систему идеальных блоков невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой m₂ = 3 кг, висящим на высоте h = 2 м над столом (см. рисунок). Груз начинает движение без начальной скорости и абсолютно неупруго ударяется о стол. Какое количество теплоты Q выделяется при этом ударе? Коэффициент трения бруска о стол равен μ = 0,25.

Решение.

1. На груз массой m₂ действует силы тяжести m_2g, а вверх — сила натяжения нити T, которая в силу условия задачи одинакова вдоль всей нити. На брусок массой m₁ вправо действует сила T, а влево — сила трения скольжения μm₁g. По вертикали на него действуют равные силы реакции опоры N и тяжести m₁g.

2. В силу нерастяжимости нити модули ускорений обоих тел одинаковы и равны a. Запишем уравнения движения тел в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси: m₂a = m₂g – T, m₁a = T – μm₁g. Сложив уравнения, находим ускорение: $a= дробь, числитель — m_2 минус \mu m_1, знаменатель — m_1 плюс m_2 g.$

3. Скорости обоих тел в момент удара груза о стол находим по известной кинематической формуле, зная путь h, пройденный ими: $V= корень из { 2ah}= корень из { 2gh дробь, числитель — m_2 минус \mu m_1, знаменатель — m_1 плюс m_2 }.$

4. При абсолютно неупругом ударе вся кинетическая энергия второго груза выделится в виде тепла

$Q= дробь, числитель — m_2V в степени 2 , знаменатель — 2 =m_2gh дробь, числитель — m_2 минус \mu m_1, знаменатель — m_1 плюс m_2 =3 умножить на 10 умножить на 2 умножить на дробь, числитель — 3 минус 0{,}25 умножить на 2, знаменатель — 2 плюс 3 = 30Дж.$

Ответ: $Q=m_2gh дробь, числитель — m_2 минус \mu m_1, знаменатель — m_1 плюс m_2 =30$ Дж.

Задание 29 № 10270

На горизонтальном шероховатом столе лежит брусок массой m₁ = 1 кг, соединённый через систему идеальных блоков невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой m₂ = 2 кг, висящим на высоте h = 1,5 м над столом (см. рисунок). Груз начинает движение без начальной скорости и абсолютно неупруго ударяется о стол. Какое количество теплоты Q выделяется при этом ударе? Коэффициент трения бруска о стол равен μ = 0,3.

Решение.

4. При абсолютно неупругом ударе вся кинетическая энергия второго груза выделится в виде тепла

$Q= дробь, числитель — m_2V в степени 2 , знаменатель — 2 =m_2gh дробь, числитель — m_2 минус \mu m_1, знаменатель — m_1 плюс m_2 =2 умножить на 10 умножить на 1{,}5 умножить на дробь, числитель — 2 минус 0{,}3 умножить на 1, знаменатель — 1 плюс 2 = 17Дж.$

Ответ: $Q=m_2gh дробь, числитель — m_2 минус \mu m_1, знаменатель — m_1 плюс m_2 =17$ Дж.

Задание 28 № 10483

Груз массой 1 кг, находящийся на столе, связан лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через идеальный блок, с другим грузом. На первый груз действует горизонтальная постоянная сила $\vec{F},$ равная по модулю 10 Н (см. рисунок). Второй груз движется из состояния покоя с ускорением 2 м/с в степени 2 , направленным вверх. Коэффициент трения скольжения первого груза по поверхности стола равен 0,2. Чему равна масса второго груза?

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для двух тел в проекциях на направленную влево горизонтальную ось и направленную вверх вертикальную ось:

$\begin{align} Ma=F минус F_{тр} минус T, 0=N минус Mg, ma=T минус mg, \end{align}$

где — сила натяжения нити. Ускорения у грузов одинаковы, поскольку соединяющая их нить нерастяжима. С учётом того, что $F_{тр}=\mu N,$ получаем:

$Ma плюс ma=F минус \mu Mg минус mg равносильно$

$равносильно m= дробь, числитель — F минус M(\mu g плюс a), знаменатель — g плюс a = дробь, числитель — 10 минус 1 умножить на (0{,}2 умножить на 10 плюс 2), знаменатель — 10 плюс 2 =0{,}5кг.$

Ответ: 0,5 кг.

Задание 23 № 12872

На рисунке изображена система тел, которая включает в себя установленную на опоре лёгкую рейку, невесомые нерастяжимые нити, два идеальных подвижных блока, два груза. Систему необходимо уравновесить, подбирая подходящие массы грузов. Какие комплекты грузов позволяют это сделать?

1) 0,75 и 1 кг

2) 0,75 и 3 кг

3) 1 и 3 кг

4) 2,25 и 3 кг

5) 2,25 и 6,75 кг

Решение.

Сила, действующая на левый край рейки, равна 2m_1g, а сила, действующая на правый край рейки, равна m_2g/2. Из условия равновесия рычага находим отношение масс грузов:

2m_1g умножить на 3 = m_2g/2 умножить на 4 равносильно 3m_1=m_2.

Таким отношением обладают наборы 3 и 5.

Ответ: 35.

Задание 23 № 12916

1) 0,5 и 0,625 кг

2) 0,625 и 0,125 кг

3) 2 и 1 кг

4) 5 и 1 кг

5) 5 и 0,5 кг

Решение.

Сила, действующая на левый край рейки, равна m_1g/2, а сила, действующая на правый край рейки, равна 2m_2g. Из условия равновесия рычага находим отношение масс грузов:

m_1g/2 умножить на 4 = 2m_2g умножить на 5 равносильно m_1=5m_2.

Таким отношением обладают наборы 2 и 4.

Ответ: 24.

Задание 28 № 16869

Два груза подвешены на достаточно длинной невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок (см. рисунок). Грузы удерживали неподвижно, а затем осторожно отпустили, после чего они начали двигаться равноускоренно. Опустившись на 2 м, левый груз приобрёл скорость 4 м/с.Определите силу натяжения нити, если масса правого груза m = 1 кг. Трением пренебречь.

Решение.

Расставим силы, действующие на каждый из грузов (см. рисунок). Запишем второе уравнение Ньютона для каждого из грузов в векторной форме:

$система выражений M\vec{g} плюс \vec{T} = M\vec{a}, новая строка m\vec{g} плюс \vec{T} = m\vec{a}. конец системы .$

Запишем второе уравнение в проекции на ось Oy: mg минус T = минус ma, откуда T = m(g плюс a).

Заметим, что скорости и ускорения обоих грузов равны по модулю. Пройденный правым грузом путь, его скорость и ускорение связаны формулой: S = дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — 2a , откуда a = дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — 2S . Подставим это выражение в полученную формулу для силы натяжения нити:

T = m левая круглая скобка g плюс дробь, числитель — v в степени 2 , знаменатель — 2S правая круглая скобка = 1кг умножить на левая круглая скобка 10м/с в степени 2 плюс дробь, числитель — 16м в степени 2 /c в степени 2 , знаменатель — 2 умножить на 2м правая круглая скобка = 14Н.

Ответ: 14 Н.

Задание 28 № 17673

Два груза подвешены на достаточно длинной невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через идеальный блок (см. рисунок). Грузы удерживали неподвижно, а затем осторожно отпустили, после чего они начали двигаться равноускоренно. Через t = 1 с после начала движения скорость правого груза (массой m = 1 кг) была направлена вертикально вверх и равна 4 м/с. Определите силу натяжения нити. Трением пренебречь.

Решение.

$система выражений M\vec{g} плюс \vec{T} = M\vec{a}, новая строка m\vec{g} плюс \vec{T} = m\vec{a}. конец системы .$

Запишем второе уравнение в проекции на ось Oy: mg минус T = минус ma, откуда T = m(g плюс a).

Заметим, что скорости и ускорения обоих грузов равны по модулю. Движение равноускоренное, поэтому a = дробь, числитель — v, знаменатель — t = дробь, числитель — 4м/с, знаменатель — 1с = 4м/с в степени 2 .

Найдём силу натяжения нити:

T = m(g плюс a) = 1кг умножить на (10м/с в степени 2 плюс 4м/с в степени 2 ) = 14Н.

Ответ: 14 Н.

Задание 29 № 19876

В точке А через подшипник подсоединена палка AB, которая может свободно вращаться вокруг точки А. В точке B расположен шар массой m₂ = 0,1 кг, в точке C — шар массойm₁ = 0,2 кг. Шар В соединён с бруском массой М = 0,1 кг через блок при помощи нерастяжимой нити. Вся система находится в равновесии, АВ = l, AC = b = 25 см, углы α и β равны 30°. Найдите l.

Решение.

По второму закону Ньютона для груза M: $M\vec{a}=\overrightarrow{T} плюс M\vec{g}.$ Система находится в равновесии, следовательно, a = 0. Ось y: $0=T минус Mg\Rightarrow$ T=Mg. Пусть A — точка вращения, тогда M_1=M_2, m_1gl_1 плюс m_2gl_2=T_1l_3, где $l_1=b умножить на синус \alpha,$ $l_2=l умножить на синус \alpha,$ $l_3=l умножить на синус (\alpha плюс \beta).$ Заметим, что угол α равен углу β, отсюда $l_3=l умножить на синус (2\alpha).$ Отсюда:

$m_1gb синус \alpha плюс m_2gl синус \alpha = T_1l синус 2\alpha;$

$T_1l синус 2\alpha минус m_2gl синус \alpha=m_1gb синус \alpha;$

$l(T_1 синус 2\alpha минус m_2g синус \alpha)=m_1gb синус \alpha;$

$l= дробь, числитель — m_1bg синус \alpha, знаменатель — T_1 синус 2\alpha минус m_2g синус \alpha .$

По третьему закону Ньютона $|\overrightarrow{T}_1|=|\overrightarrow{T}_2|.$ Когда система не двигается, выполняется первый закон Ньютона: $\overrightarrow{T}_2 плюс M\vec{g}=0.$ В проекции на ось OX: $T_2=Mg \Rightarrow$ T_1=T_2=Mg. Откуда:

$l= дробь, числитель — m_1b синус \alpha, знаменатель — M синус 2\alpha минус m_2 синус \alpha = дробь, числитель — 0,2 умножить на 0,25 умножить на 0,5, знаменатель — 0,1 умножить на дробь, числитель — корень из { 3 , знаменатель — { 2} минус 0,1 умножить на 0,5}=0,683 м=68,3 см.$

Ответ: l = 68,3 см, ось OY перпендикулярная плоскости рисунка.

Задание 29 № 19927

Грузы массами M и m = 1 кг связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, по которому нить может скользить без трения (см. рисунок). Груз массой M находится на шероховатой наклонной плоскости (угол наклона плоскости к горизонту $\alpha$ = 30°, коэффициент трения $\mu$ = 0,2). Чему равно минимальное значение массы M, при котором система грузов ещё не выходит из первоначального состояния покоя.

Решение.

1) Масса М будет минимальной в том случае, если сила трения, действующая на брусок, будет направлена вниз вдоль наклонной плоскости. Изобразим силы, действующие на каждое тело. Так как нить легкая, то T₁ = T₂ = T.

2) Запишем второй закон Ньютона для обоих тел

$M\vec g плюс \vec T плюс \vec F_{тр}=0,$

$\vec T плюс m\vec g=0.$

В проекциях на координатные оси:

$минус Mg синус \alpha плюс T минус F_{тр}=0,$

$N минус Mg косинус \alpha=0,$

T − mg = 0.

Учитывая, что $F_{тр}=\mu N,$ и объединяя формулы, получаем:

$M= дробь, числитель — m, знаменатель — синус \alpha плюс \mu косинус \alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — синус 30 в степени circ плюс 0,2 косинус 30 в степени circ \approx 1,49кг.$

Ответ: 1,49.

Задание 29 № 20039

Невесомый стержень АВ с двумя малыми грузиками массами m₁ = 200 г иm₂ = 100 г, расположенными в точках C и B соответственно, шарнирно закреплён в точке А. Груз массой M = 100 г подвешен к невесомому блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 30 в степени circ,$ а нить составляет угол с вертикалью, равный $\beta = 30 в степени circ.$ Расстояние АС = b = 25 см. Определите длину l стержня АВ. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз M и стержень.

Решение.

1. Систему отсчёта, связанную с Землёй, считаем инерциальной. Введём декартову систему координат хОу, как показано на рисунке. Поскольку груз находится в равновесии, согласно второму закону Ньютона T_1 минус Mg = 0 (1).

2. На стержень с грузами m₁ и m₂ действуют силы $m_1\vec{g}$ и $m_2\vec{g},$ а также сила натяжения нити $\overrightarrow{T_2}.$ Поскольку нить невесома, то $|\overrightarrow{T_1}| = |\overrightarrow{T_2}| =T.$ Кроме того, на стержень действует сила $\overrightarrow{F}$ со стороны шарнира. Запишем условие равенства нулю суммы моментов этих сил относительно оси вращения, проходящей через точкуА — точку шарнирного закрепления стержня:

$m_1g умножить на b синус \alpha плюс m_2g умножить на l синус \alpha минус T умножить на AD = 0 (2).$

3. Решая систему уравнений (1) и (2), с учётом $AD = l синус \phi = l синус (\alpha плюс \beta)$ получим:

$l= дробь, числитель — m_1 умножить на b синус \alpha, знаменатель — M синус (\alpha плюс \beta) минус m_2 синус \alpha = дробь, числитель — 200 умножить на 25 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , знаменатель — { 100 умножить на дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 минус 100 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 } \approx 68,3 см$

Ответ: $l \approx 68,3 см.$

Задание 2 № 3583

После того как груз массой 600 г аккуратно отцепили от груза пружина сжалась так, как показано на рисунке, и система пришла в равновесие. Пренебрегая трением, определите, чему равен коэффициент жесткости пружины. (Ответ дайте в Н/м.) Нить считайте невесомой. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Решение.

Блок можно рассматривать как равноплечий рычаг: сила натяжения нити с обеих сторон от блока одинаковая.

Для первой картинки (до снятия груза) имеем: $(m плюс 0{,}6кг)g=k\Delta x_1.$

Для второй картинки (после снятия груза): $mg=k\Delta x_2.$

Таким образом, для жесткости пружины получаем:

$k= дробь, числитель — 0{,}6кг умножить на g, знаменатель — \Delta x_1 минус \Delta x_2 = дробь, числитель — 0{,}6кг умножить на 10м/с в степени 2 , знаменатель — 0{, 01м}=600Н/м.$

Ответ: 600.

Задание 2 № 3600

После аккуратного подвешивания к грузу другого груза массой 3 кг пружина удлинилась так, как показано на рисунке, и система пришла в равновесие. Пренебрегая трением, определите, чему равен коэффициент жесткости пружины. (Ответ дайте в Н/м.) Нить считайте невесомой. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с².

Решение.

Блок можно рассматривать как равноплечий рычаг: сила натяжения нити с обеих сторон от блока одинаковая.

Для первой картинки (до прикрепления груза) имеем: $mg=k\Delta x_1.$

Для второй картинки (после прикрепления груза): $(m плюс 3кг)g=k\Delta x_2.$

Таким образом, вычтя из второго уравнения первое, для жёсткости пружины получаем:

$k= дробь, числитель — 3кг умножить на g, знаменатель — \Delta x_2 минус \Delta x_1 = дробь, числитель — 3кг умножить на 10м/с в степени 2 , знаменатель — 0{, 01м}=3000Н/м.$

Ответ: 3000.

Задание 29 № 7980

Вагонетка массой M = 900 г связана невесомой и нерастяжимой нитью с грузом массой m. Если вагонетку толкнуть влево, то она будет двигаться с ускорением 2 м/с², если толкнуть вправо, то её скорость будет постоянной. Найти массу груза m.

Решение.

В горизонтальном направлении на вагонетку действуют сила трения и сила натяжения нити. В первом случае они обе направлены против движения, вагонетка движется равнозамедленно. Во втором случае силы направлены в разные стороны и компенсируют друг друга, поэтому вагонетка движется равномерно. Запишем для них второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону блока:

$\begin{align} Ma=T_1 плюс F_{тр},0=T_2 минус F_{тр}. \end{align}$

Запишем теперь второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$\begin{align} ma=mg минус T_1,0=mg минус T_2. \end{align}$

Ускорения вагонетки и груза одинаковые, поскольку нить нерастяжима. Сила натяжения нити одинакова, поскольку нить невесома. Сложим все четыре уравнения:

Ma плюс ma=2mg,

откуда

m= дробь, числитель — Ma, знаменатель — 2g минус a = дробь, числитель — 900 умножить на 2, знаменатель — 2 умножить на 10 минус 2 =100г.

Ответ: 100 г.

Задание 29 № 7988

Тележка массой M = 450 г связана нерастяжимой и невесомой нитью с грузом массойm. Если тележку толкнуть влево, то она будет двигаться с ускорением 2 м/с², если толкнуть вправо, то её скорость будет постоянной. Найти массу груза m.

Решение.

В горизонтальном направлении на тележку действуют сила трения и сила натяжения нити. В первом случае они обе направлены против движения, тележка движется равнозамедленно. Во втором случае силы направлены в разные стороны и компенсируют друг друга, поэтому тележка движется равномерно. Запишем для них второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, направленную в сторону блока:

$\begin{align} Ma=T_1 плюс F_{тр},0=T_2 минус F_{тр}. \end{align}$

Запишем теперь второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$\begin{align} ma=mg минус T_1,0=mg минус T_2. \end{align}$

Ускорения тележки и груза одинаковые, поскольку нить нерастяжима. Сила натяжения нити одинакова, поскольку нить невесома. Сложим все четыре уравнения:

Ma плюс ma=2mg,

откуда

m= дробь, числитель — Ma, знаменатель — 2g минус a = дробь, числитель — 450 умножить на 2, знаменатель — 2 умножить на 10 минус 2 =50г.