Физика - уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
Решение задач Математика и Физика
Математика а) Решите уравнение 8Sin^2 (7П/12+x) -2√3Cos2x=5 б) Укажите корни этого уравнения

Математика а) Решите уравнение 8Sin^2 (7П/12+x) -2√3Cos2x=5 б) Укажите корни этого уравнения

Канал видеоролика: Решение задач Математика и Физика

Смотреть видео:

Задача:

А. Решите уравнение

Б. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

Используем формулу связи косинуса двойного угла и синуса.

Применим одну из формул приведения аргумента для косинуса.

Теперь раскроем косинус суммы и немного упростим.

Решим простейшее тригонометрическое уравнение

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

Похожие задачи по данной теме

Задание 13 № 507595

а) Решите уравнение косинус 2x= синус левая круглая скобка x плюс дробь, числитель — знаменатель — p i2 правая круглая скобка .

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ минус 2 Пи ; минус Пи >.

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

2 косинус в степени 2 x минус 1= косинус x равносильно 2 косинус в степени 2 x минус косинус x минус 1=0 равносильно

$\[ равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=1, новая строка косинус x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи k, новая строка x=\pm дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .\>$

б) Отберём с помощью единичной окружности корни уравнения, принадлежащие промежутку [ минус 2 Пи ; минус Пи >: минус 2 Пи ; минус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 .

Ответ: а) $\left\{2 Пи k, \pm дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z \};$ б) минус 2 Пи , минус дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 .

Задание 13 № 504543

а) Решите уравнение 4 косинус в степени 4 x минус 4 косинус в степени 2 x плюс 1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ минус 2 Пи ; минус Пи >.

Решение.

а) Выделим полный квадрат:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие отрезку [ минус 2 Пи ; минус Пи >.

Ответ: а) $\left\{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 :k принадлежит Z \};$ б) минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 4 ; минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 4 .

Задание 13 № 500366

а) Решите уравнение косинус {2x} плюс синус в степени 2 {x}=0,5.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 , минус 2 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

косинус в степени 2 {x} минус синус в степени 2 {x} плюс синус в степени 2 {x}=0,5 равносильно косинус в степени 2 {x}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно

$равносильно косинус {x}=\pm дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 равносильно x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — знаменатель — p i2 k,k принадлежит Z .$

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 , минус 2 Пи правая квадратная скобка . Получим числа: минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 4 , минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 , минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 4 .

Ответ: а) $\left\{\left. дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 | k принадлежит Z \};$ б) минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 4 ; минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 ; минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 4 .

Задание 13 № 509579

а) Решите уравнение косинус 2x минус 3 косинус x плюс 2 = 0.

б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

2 косинус в степени 2 x минус 1 минус 3 косинус x плюс 2=0 равносильно 2 косинус в степени 2 x минус 3 косинус x плюс 1=0 равносильно

$\[ равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=1, новая строка косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи k, новая строка x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .\>$

б) На отрезке левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка корни отберём с помощью единичной окружности. Получаем и минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 3 .

Ответ: а) $\left\{2 Пи k, минус дробь, числитель — знаменатель — p i3 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z \};$ б) минус 4 Пи ; минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 3 .

Задание 13 № 515919

а) Решите уравнение косинус 2x плюс синус в степени 2 x=0,75.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка Пи ; дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

a) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: косинус 2x = 1 минус 2 синус в степени 2 x, и введем обозначение t= синус x. Имеем:

1 минус 2t в степени 2 плюс t в степени 2 =0,75 равносильно t в степени 2 =0,25 равносильно совокупность выражений t= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,t= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Вернемся к исходной переменной:

совокупность выражений синус x = минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , синус x = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k,x= минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, x= дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка Пи ; дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка . Получим числа: дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 , дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 6 , дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 6 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс Пи k, дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс Пи k : k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 ; дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 6 ; дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 6 .

Задание 13 № 485935

а) Решите уравнение 6 косинус в степени 2 x минус 7 косинус x минус 5 = 0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [ минус Пи ;2 Пи >.

Решение.

а) Сделаем замену косинус x = y , получим квадратное уравнение 6y в степени 2 минус 7y минус 5=0, корнями которого являются числа $y= минус дробь, числитель — \text{1}, знаменатель — 2$ и $y= дробь, числитель — \text{5}, знаменатель — 3 .$ Уравнение косинус x= дробь, числитель — 5, знаменатель — 3 не имеет решений, а из уравнения косинус x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 находим корни x= дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k или $x= минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс \text{2} Пи k,k принадлежит Z .$

б) Найдем корни, принадлежащие отрезку [ минус Пи ;2 Пи >.

минус Пи меньше или равно минус дробь, числитель — {2} Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 6 меньше или равно k меньше или равно дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 , откуда k=0 или k=1.

минус Пи меньше или равно дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k меньше или равно 2 Пи равносильно минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 6 меньше или равно k меньше или равно дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 равносильно k=0.

Соответствующие найденным значениям параметров корни: $минус дробь, числитель — \text{2} Пи , знаменатель — 3 ,$ $дробь, числитель — \text{2} Пи , знаменатель — 3$ и дробь, числитель — 4 Пи , знаменатель — 3 .

Ответ: а) $\left\{ дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z \};$ б)

Задание 13 № 510106

а) Решите уравнение косинус 2x минус 5 корень из 2 косинус x минус 5=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

$2 косинус в степени 2 x минус 1 минус 5 корень из 2 косинус x минус 5=0 равносильно (2 косинус x плюс корень из 2 )(\x косинус x минус 3 корень из 2 )=0 равносильно$

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 3 Пи ; минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка . Получим число минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 .

Ответ:а) $\left\{ минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \};$ б) минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 .

Задание 13 № 500000

Дано уравнение 2 косинус в степени 2 x плюс 2 синус 2x=3.

а) Решите данное уравнение.

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Сведем уравнение к квадратному относительно тангенса:

2 косинус в степени 2 x плюс 2 синус 2x=3 равносильно 2 косинус в степени 2 x плюс 4 синус x косинус x=3 ( синус в степени 2 x плюс косинус в степени 2 x) равносильно

равносильно 3 синус в степени 2 x минус 4 синус x косинус x плюс косинус в степени 2 x=0 равносильно 3 тангенс в степени 2 x минус 4 тангенс x плюс 1=0 равносильно

$равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x=1, новая строка тангенс x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи k, новая строка x=\arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б) С помощью числовой окружности находим, что из найденных решений промежутку принадлежат числа $минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 ,\operatorname{\arctg} дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 минус Пи .$

Ответ: а) $\left\{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи k, \arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 плюс Пи k: k принадлежит Z \};$ б) $минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 ;\arctg дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 минус Пи .$

Задание 13 № 513091

а) Решите уравнение 2 косинус 2x плюс 4 корень из 3 косинус x минус 7=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку левая квадратная скобка дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 ;4 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Имеем:

2(2 косинус в степени 2 x минус 1) плюс 4 корень из { 3} косинус x минус 7=0 равносильно 4 косинус в степени 2 x плюс 4 корень из { 3} косинус x минус 9=0 равносильно

$равносильно совокупность выражений косинус x= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 , косинус x= минус дробь, числитель — 3 корень из { 3}, знаменатель — 2 конец совокупности . равносильно косинус x= дробь, числитель — корень из { 3}, знаменатель — 2 равносильно x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .$

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 ;4 Пи правая квадратная скобка . Получим точку дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 6 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 23 Пи , знаменатель — 6 .

Задание 13 № 501044

а) Решите уравнение корень из 3 синус 2{x} плюс 3 косинус 2x=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; 3 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Если косинус 2x=0, то из уравнения следует, что что противоречит основному тригонометрическому тождеству. Поэтому отличен от 0, на него можно поделить обе части уравнения:

корень из 3 тангенс 2x плюс 3=0 равносильно тангенс 2x= минус корень из 3 равносильно 2x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс Пи k равносильно x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 , k принадлежит Z .

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку левая квадратная скобка дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; 3 Пи правая квадратная скобка . Получим числа: дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 6 , дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 и дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 6 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс дробь, числитель — Пи k, знаменатель — 2 : k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 6 ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 6 .

Задание 13 № 526215

а) Решите уравнение косинус 2x плюс корень из { 2} косинус левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс x правая круглая скобка плюс 1=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 2 Пи ;3,5 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Воспользуемся формулой косинуса двойного угла и формулой приведения:

1 минус 2 синус в степени 2 x минус корень из { 2} синус x плюс 1 = 0 равносильно 2 синус в степени 2 x плюс корень из { 2} синус x минус 2 = 0.

Пусть t = синус x. Тогда получаем:

2t в степени 2 плюс корень из { 2}t минус 2 = 0 равносильно совокупность выражений новая строка t = минус корень из { 2}, новая строка t= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 . конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной:

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка . Получим числа дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 4 ; дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 .

Ответ: а) $\left\{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 4 ; дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 .

Задание 13 № 505498

а) Решите уравнение дробь, числитель — 1, знаменатель — синус в степени 2 x минус дробь, числитель — 3, знаменатель — синус x плюс 2=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 , минус Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Пусть t= дробь, числитель — 1, знаменатель — синус x , тогда имеем:

t в степени 2 минус 3t плюс 2=0 равносильно совокупность выражений новая строка t=1, новая строка t=2, конец совокупности .

откуда:

б) С помощью числовой окружности (см. рис.) найдём корни из отрезка левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 , минус Пи правая квадратная скобка . Получимчисла: минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 6 , минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 , минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 .

Ответ: а) $\left\{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \};$ б) минус дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 6 ; минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 6 .

Задание 13 № 514472

а) Решите уравнение 2 косинус в степени 2 x плюс 1=2 корень из 2 косинус левая круглая скобка дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку левая квадратная скобка дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ;3 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Запишем исходное уравнение в виде:

2 минус 2 синус в степени 2 x плюс 2 корень из 2 синус x плюс 1=0 равносильно 2 синус в степени 2 x минус 2 корень из 2 синус x минус 3=0 равносильно совокупность выражений синус x= дробь, числитель — 3 корень из 2 , знаменатель — 2 , синус x= минус дробь, числитель — корень из 2 , знаменатель — 2 . конец совокупности .

Уравнение синус x= дробь, числитель — 3 корень из 2 , знаменатель — 2 корней не имеет. Значит, синус x= минус дробь, числитель — корень из 2 , знаменатель — 2 , откуда x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k или x= минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k,k принадлежит Z .

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ;3 Пи правая квадратная скобка . Получим число дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 4 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k, минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 4 .

Задание 13 № 515686

а) Решите уравнение тангенс в степени 2 x плюс 5 тангенс x плюс 6=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Решим уравнение:

тангенс в степени 2 x плюс 5 тангенс x плюс 6=0 равносильно совокупность выражений тангенс {x}= минус 2, тангенс {x}= минус 3 конец совокупности . равносильно .

$равносильно совокупность выражений x=\arctg{( минус 2)} плюс Пи k,x=\arctg{( минус 3)} плюс Пи k конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= минус \arctg2 плюс Пи k,x= минус \arctg{3} плюс Пи k, конец совокупности .k принадлежит Z .$

б) Среди представленных корней отберём те, которые принадлежат отрезку левая квадратная скобка минус 2 Пи ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Это числа $минус Пи минус \arctg2$ и $минус Пи минус \arctg3.$

Ответ: а) $\left\{ минус \arctg2 плюс Пи k, минус \arctg3 плюс Пи k: k принадлежит Z \};$ б) $минус Пи минус \arctg2, минус Пи минус \arctg3.$

Задание 13 № 526289

а) Решите уравнение 8 синус в степени 2 x минус 2 корень из { 3} косинус левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка минус 9=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 ; минус Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Используя формулу приведения, запишем уравнение в виде 8 синус в степени 2 x минус 2 корень из { 3} синус x минус 9=0. Далее имеем:

$синус x = дробь, числитель — корень из 3 \pm корень из { 75}, знаменатель — 8 равносильно синус x = дробь, числитель — корень из 3 \pm 5 корень из { 3}, знаменатель — 8 равносильно совокупность выражений синус x= минус дробь, числитель — корень из 3 , знаменатель — 2 , синус x= дробь, числитель — 3 корень из 3 , знаменатель — 4 конец совокупности . равносильно синус x= минус дробь, числитель — корень из 3 , знаменатель — 2 равносильно совокупность выражений x= минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k,x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z .$

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 ; минус Пи правая квадратная скобка . Получим число минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \};$ б) минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 .

Задание 13 № 519514

а) Решите уравнение $синус левая круглая скобка \tfrac{7 Пи }{2} плюс x правая круглая скобка плюс 2 косинус 2x=1$ .

б) Найдите его корни на промежутке [3 Пи ;4 Пи >.

Решение.

Имеем:

$синус левая круглая скобка дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 плюс x правая круглая скобка плюс 2 косинус 2x=1 равносильно $ \[ равносильно минус косинус x плюс 4{{ косинус } в степени 2 }x минус 2=1 равносильно \>\[4{{ косинус } в степени 2 }x минус косинус x минус 3=0 равносильно \]\[ равносильно совокупность выражений новая строка косинус x=1, новая строка косинус x= минус дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x=2 Пи k,\quad k принадлежит Z, новая строка x=\pm левая круглая скобка Пи минус \arccos дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 правая круглая скобка плюс 2 Пи k,k принадлежит Z. конец совокупности .\].$

Условию x принадлежит [3 Пи ;4 Пи >

Ответ: а) $\[2 Пи k,\pm левая круглая скобка Пи минус \arccos дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 правая круглая скобка плюс 2 Пи k,k принадлежит Z\>$

б) $\[3 Пи плюс \arccos дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 , 4 Пи \>$

Задание 13 № 500212

а) Решите уравнение 6 синус в степени 2 {x} плюс 5 синус { левая круглая скобка дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка } минус 2=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 5 Пи , минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Запишем уравнение в виде

6 минус 6 косинус в степени 2 {x} плюс 5 косинус {x} минус 2=0 равносильно 6 косинус в степени 2 {x} минус 5 косинус {x} минус 4=0 равносильно

(3 косинус {x} минус 4)(2 косинус {x} плюс 1)=0

Значит, или косинус {x}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 — уравнение не имеет корней, или косинус {x}= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , откуда x= минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k или x= дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, k принадлежит Z.

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус 5 Пи , минус дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка . Получим число минус дробь, числитель — 14 Пи , знаменатель — 3 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z \};$ б) минус дробь, числитель — 14 Пи , знаменатель — 3 .

Задание 13 № 519634

а) Решите уравнение дробь, числитель — 4, знаменатель — {{ синус в степени 2 } левая круглая скобка дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка } минус дробь, числитель — 11, знаменатель — косинус x плюс 6=0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Заметим, что синус левая круглая скобка дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка = синус левая круглая скобка дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка = минус косинус x,

поэтому {{ синус } в степени 2 } левая круглая скобка дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 2 минус x правая круглая скобка = косинус в степени 2 x.

Пусть дробь, числитель — 1, знаменатель — косинус x =t, тогда 4t в степени 2 минус 11t плюс 6=0 равносильно совокупность выражений t= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 ,t=2. конец совокупности .

Откуда

$совокупность выражений дробь, числитель — 1, знаменатель — косинус x = дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 , дробь, числитель — 1, знаменатель — косинус x =2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 , косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 конец совокупности . \underset{| косинус x| меньше или равно 1}{\mathop{ равносильно }} косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно x=\pm дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б) Отберем корни при помощи тригонометрической окружности:

Получим число дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 .

Ответ: а) $\left\{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k, минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс 2 Пи k : k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 7 Пи , знаменатель — 3 .

Задание 13 № 519632

а) Решите уравнение дробь, числитель — 2, знаменатель — {{ тангенс в степени 2 }x} плюс дробь, числитель — 7, знаменатель — тангенс {x } плюс 5=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3 Пи ;4 Пи >.

Решение.

а) Пусть t= дробь, числитель — 1, знаменатель — тангенс {x }, тогда 2{{t} в степени 2 } плюс 7t плюс 5=0, откуда t= минус 1 или t= минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 .

Имеем два уравнения:

дробь, числитель — 1, знаменатель — тангенс {x }= минус 1 равносильно тангенс {x}= минус 1 равносильно x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z ,

$дробь, числитель — 1, знаменатель — тангенс {x }= минус дробь, числитель — 5, знаменатель — 2 равносильно тангенс {x}= минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 равносильно x= минус \arctg дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 плюс Пи n,n принадлежит Z .$

б) С помощью числовой окружности выберем корни уравнения на промежутке [3 Пи ;4 Пи >.

Ответ: a) $\left \{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n, минус \arctg дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 плюс Пи n : n принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 4 ; $4 Пи минус \arctg дробь, числитель — 2, знаменатель — 5 .$

Задание 13 № 523375

а) Решите уравнение дробь, числитель — 7, знаменатель — 1 минус косинус в степени 2 x плюс дробь, числитель — 9, знаменатель — синус x =10.

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

Получим числа минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 6 , минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 6 .

Ответ: а) x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n, x= минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, где k, n принадлежит Z ; б) минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 6 , минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 6 .

Задание 13 № 505428

а) Решите уравнение тангенс в степени 2 x плюс (1 плюс корень из { 3}) тангенс x плюс корень из { 3}=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 ;4 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Пусть t= тангенс x, тогда уравнение запишется в виде:

t в степени 2 плюс (1 плюс корень из { 3})t плюс корень из { 3}=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= минус корень из { 3}. конец совокупности

Вернемся к исходной переменной:

совокупность выражений тангенс x= минус 1, тангенс x= минус корень из { 3}. конец совокупности равносильно совокупность выражений x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи k,x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс Пи k, k принадлежит Z . конец совокупности

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 ;4 Пи правая квадратная скобка . Получим числа: дробь, числитель — 8 Пи , знаменатель — 3 , дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 , и дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 4 .

Ответ: а) $\left\{ минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи k, минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 3 плюс Пи k, k принадлежит Z \};$ б) дробь, числитель — 8 Пи , знаменатель — 3 ; дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 4 ; дробь, числитель — 15 Пи , знаменатель — 4 .

Задание 13 № 518911

а) Решите уравнение синус 2x плюс 2 косинус в степени 2 x плюс косинус 2x=0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 2 ; минус 3 Пи правая квадратная скобка .

Решение.

а) Сведём уравнение к однородному тригонометрическому уравнению второй степени.

2 синус x косинус x плюс 2 косинус в степени 2 x плюс косинус в степени 2 x минус синус в степени 2 x=0 равносильно 3 синус x косинус x плюс 3 косинус в степени 2 x минус синус x косинус x минус синус в степени 2 x=0 равносильно

равносильно синус в степени 2 x минус 2 синус x косинус x минус 3 косинус в степени 2 x=0 равносильно тангенс в степени 2 x минус 2 тангенс x минус 3=0 равносильно

$равносильно совокупность выражений новая строка тангенс x= минус 1, новая строка тангенс x=3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z , новая строка x=\arctg 3 плюс Пи k,k принадлежит Z . конец совокупности .$

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 9 Пи , знаменатель — 2 ; минус 3 Пи правая квадратная скобка . Получим числа минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 4 ; $\arctg 3 минус 4 Пи ;$ минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 4 .

Ответ: а) x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z ; $\arctg}3 плюс Пи n,n принадлежит Z ;$ б) минус дробь, числитель — 17 Пи , знаменатель — 4 ; $\arctg3 минус 4 Пи ;$ минус дробь, числитель — 13 Пи , знаменатель — 4 .