Физика - уроки для подготовки к экзаменам ЕГЭ ОГЭ
Физика ГДЗ
Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

Определение производной, её физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной

Канал видеоролика: Физика ГДЗ

Смотреть видео:

Производная функции − это результат дифференцирования функции.

Дифференцирование в математике — это процесс, при котором функция f превращается в другую функцию f’ ("производная от f").

Простыми словами, производная — это средний наклон между двумя точками:

Производная функции Наклон = изменение в Y / изменение в X d/dx

Производная функции Наклон = изменение в Y/ изменение в X d/dx Наклон пример

Интегрирование — это обратный процесс, т. е. восстановление функции по данной производной.

Например, функция x² (на графике выше) является одним из интегралов от 2x (пунктирная синяя линия), поскольку производная x² равна 2x.

Геометрический смысл производной функции

Геометрический смысл производной функции угол β с производной

Производная функции f(x) в данной точке — это наклон касательной f(x) в точке a, как показано на рисунке.

Эта прямая линия образует угол, который на данном рисунке мы назвали β и он зависит от наклона касательной (она является производной в данной точке). Таким образом: tan β = f´(a).

Физический смысл производной функции

Представьте точку, которая движется по прямой с постоянно меняющейся скоростью. Её скорость постоянно меняется, поэтому она рассчитывается в момент "t0". Для этого нам нужно рассчитать короткий промежуток времени Δt, а расстояние, которое точка пройдёт за это время будет ΔS.

Таким образом её скорость будет примерно ΔS / Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем точнее будет результат (скорость). Самую точную мгновенную скорость точки в момент t0 можно получить, если рассчитать предел Δt —>0. Таким образом:

V = lim ΔS/Δt

Таблица производных функций

Таблица производных функций, формулы производной

Таблица производных функций, формулы производной 2

Как пользоваться этой таблицей?

Например, производная линейной функции a*x равна константе, стоящей вместе с переменной x, т. е.: (а*x)′ = а.

Или нужно найти производную функции f(x) = 2 cos x:

f’(x) = (2 cos x)’ = 2 (cos x)’ = 2 (– sin x) = –2 sin x

Как найти производную?

Пример 1

f(x) = 6x³

f′(x) = 3 * 6x²

f′(x) = 18x²

Степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1.

Пример 2

f(x) = 3x³ – 5x² + 6x − 5

f'(x) = 3*3x² – 2*5x¹ + 6 − 0

f(x) = 9x² – 10x + 6

Пример 3

f(x) = (x−4) (2x+x²)

Нужно сначала раскрыть скобки:

f(x) = (x−4) (2x+x²)=

f(x) = 2x² − 8x + x³ − 4x²

f(x) = x³ − 2x² − 8x

Теперь можно приступать к поиску производной, как и в предыдущих примерах степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1:

f´(x) = (x³ − 2x² − 8x)´=

f´(x) = 3x² − 2*2x¹ − 8 =

f´(x) = 3x² − 4x − 8

Пример 4

f(x) = √x

Переведём сначала корень в степень:

f(x) = x ^ (½)

Теперь можно производить вычисления производной с обычной формулой степеней:

f´(x) = ½ * x ^ (½ – 1)

f´(x) = ½ * x ^ (– ½)

f´(x) = ½ * (1/√x)

Можно остановиться здесь, но бывает, что ответ с корнем в знаменателе не считается совсем правильным, поэтому умножаем всю вторую дробь на "√x/√x".

(1/√x) * (√x/√x) = √x/x

Значит правильный и "красивый" ответ:

f´(x) = ½ * (√x/x)

Пример 5

f(x) = sin x − cos x

Из таблицы мы знаем:

(sin x)´ = cos x

(cos x)´ = − sin x

Так как это вычитание, осталось только подставить:

f´(x) = (sin x − cos x)´

f´(x) = cos x − (− sin x)

f´(x) = cos x + sin x

Сложные функции — примеры

Правило сложной функции:

(u (v))´ = u´ (v) * v´

Пример

производная пример сложной функции

1. Сначала нужно разобраться, что "arctg x" является нашей простой (внутренней) частью функции, это наше “v” формулы.

2. Применяем формулу корня из таблицы в левой части, получится 1/2 √arctg x, оставляя правую нерешённой.

3. Применяем формулу arctg x из таблицы (1/ (1 + x²)).

4. Совмещаем и готово

4.1. Если хотите "красивый" ответ, нужно убрать корень из знаменателя, умножая всю эту дробь на √arctgx / √arctgx.

Получится √arctgx / (2 (1 + x²) arctgx)

Как определить знак производной?

1. Определить точки, в которых производная равна нулю (также называются критическими точками).

2. Начертить таблицу, в которую вставляются все критические точки, а между ними оставляются незаполненными по одному окошку.

3. Выбрать значения x до и после полученного интервала, подставить в производную. Если значение получилось больше нуля, то знак будет плюс, если меньше — минус.

Пример:

y = x² – 6x + 17

Её производная y’ = 2x – 6.

Расчёт критических точек:

y’ = 0

2x – 6 = 0

2x = 6

x = 3

Значит в нашей таблице будет только одна критическая точка x = 3, и оставим место на "до" и "после".

x < 3	x = 3	x > 3
0

Далее выбираем любой x сначала меньше 3, а потом больше 3.1. для x < 3 выбираем, например, x = 1 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(1) = 2 * 1 – 6 = -4 <0, значит в таблицу записываем "–" (это означает, что в этой точке функция убывает).

2. для x > 3 выбираем, например, x = 4 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(4) = 2 * 4 – 6 = 2 >0, значит в таблицу записываем "+" (это означает, что в этой точке функция возрастает).

x < 3	x = 3	x > 3
–	0	+

Вторая производная

Можно вычислить и "производную производной", обозначается она как y’’. Если использовать предыдущий пример:

y = x² – 6x + 17

её производная y’ = 2x – 6
вторая производная y’’ = (2x – 6)' = 2

Её физический смысл: это скорость изменения скорости движения точки, которая принадлежит графику функции.

Что такое композиция функций?

Иногда называется сложной функцией.

Сложная функция обычно записывается как (f o g) (x), т. е. можно "изобразить g (x) через f (x)" или наоборот.

Например, даны две функции: f (x) = 2x + 3 и g (x) = – x² + 5.

Требуется узнать (f o g) (x), это означает "f (g (x))".

Решение:

Нужно подставить в функцию f (вместо x) функцию g

(f o g) (x) = f (g (x)) = f (–x² + 5) = 2 (–x² + 5) + 3 = – 2x² + 10 + 3 = – 2x² + 13

Если нужно узнать (g o f) (x), это "g (f (x))".

Решение:

(g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 3) = – (2x + 3)² + 5 = – (4х² + 12x + 9) + 5 = – 4х² – 12x – 9 + 5 = – 4х² – 12x – 4

* * * * *

Определение производной

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ к приращению аргумента $\Delta x$ при $\Delta x\rightarrow 0$ , если этот предел существует.

$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Пример:

$(x^2+1)'=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{((x+\Delta x)^2+1)-(x^2+1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x+\Delta x^2-x^2}{\Delta x}=$

$=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta x(2x+\Delta x)}{\Delta x}=2x$

Но нет необходимости каждый раз пользоваться этим определением для нахождения производной…

Геометрический смысл производной

Если мы рассмотрим прямоугольный треугольник , то заметим, что $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ есть .

А при стремлении $\Delta x$ к нулю, точка будет приближаться к точке и секущая «превратится» в касательную к графику функции в точке .

Поэтому геометрический смысл производной таков:

Производная в точке () равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке:

$f'(x_0)=tg\alpha$ ,

где $\alpha$ – угол наклона касательной (проведенной к в т. )

Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси и ее координаты изменяются по закону , то мгновенная скорость точки:

а ускорение:

Пример:

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

Решение:

$v(9)=12\cdot 9-48=60$ м/с

Ответ: 60.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику в точке :

Пример:

Составить уравнение касательной к графику функции $y=\frac{1}{3}x^3-4x+1$ в точке .

Решение:

2. $f(3)=\frac{1}{3}\cdot 3^3-4\cdot 3+1=9-12+1=-2;$

Ответ:

* * * * *

Производная функции. Геометрический смысл

Прокомментируем таблицу.

Рассмотрим график функции, изображенный на рисунке.

Мы видим, что функция возрастает в точке . Касательная, проведенная к графику функции в точке , имеет острый угол наклона к оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной положителен, а значит, положительна и производная функции в точке .

Точка – точка минимума функции, касательная проведенная к графику функции через точку , параллельна оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной равен нулю, значит и производная функции в точке равна нулю.

В точке функция убывает. Касательная, проведенная к графику функции в точке , имеет тупой угол наклона к оси (ох), значит тангенс угла наклона касательной отрицателен, а значит, отрицательна производная функции в точке

* * * * *

Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени.

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Решение:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.