Математика Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию

Задача: проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, содержащий 32 % спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22 % спирта. Сколько процентов спирта содержит первый раствор?

Решение:

Ответ: a=12%, b=24%, c=48%

* 5 * 5 * 5 * 5 * 5 *

Удачи тебе на экзаменах! У тебя всё получится - мы в тебя верим!

Поделись этой информацией с помощью кнопок ниже (облегчи учёбу другим ученикам, и будет тебе плюс в карму!)

ТЕОРИЯ. Основные формулы арифметической прогрессии

Рекуррентная формула n-го члена: a_n+1 = a_n + dФормула n-го члена: a_n = a₁ + d(n — 1)Сумма первых n членов 1-я формула Сумма первых n членов 2-я формула Характеристическое свойство Свойство крайних членов a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = a₃ + a_n-2 = …Основные формулы геометрической прогрессииРекуррентная формула n-го члена: b_n+1 = b_n qФормула n-го члена: b_n = b₁ q^n-1Сумма первых n членов 1-я формула Сумма первых n членов 2-я формула Сумма бесконечной геометрической прогрессии Характеристическое свойство Пример 1.Известно, что 1-й, 7-й и 25 члены арифметической прогрессии с ненулевой разностью составляют геометрическую прогрессию. Найти q.РешениеРассмотрим геометрическую прогрессию, члены которой:Если разделим второе уравнение на первое, то получим q + 1 = 4, q = 3.Ответ: 3.Пример 2.Три различных числа a, b, c образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Числа: a + b, b + c, a + c образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найти знаменатель геометрической прогрессии.Дано:Г.П.: a₁, a₁q, a₁q².А.П.: a₁ + a₁q, a₁q + a₁q², a₁ + a₁q².Найти q.РешениеВоспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: 2q + 2q² — 2 — q — q² = 0q² + q — 2 = 0, q = -2, q = 1.Знаменатель геометрической прогрессии не может равняться 1.Ответ: -2.Пример 3.Первый член возрастающей арифметической прогрессии равен 0,2. Найти разность прогрессии, если известно, что при делении каждого ее члена на номер этого члена получается геометрическая прогрессия и число членов прогрессии больше трех.Дано:Г.П.: (0,2 + d)/2; (0,2 + 2d)/3; (0,2 + 3d)/4.Найти d.РешениеВоспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: . Возведем обе части в квадрат:1/9(0,2² + 4 0,2d + 4d²) = 1/8(0,2² + 0,2d + 0,6d + 3d²)| 728(0,04 + 0,8d + 4d²) = 9 (0,04 + 0,8d + 3d²)0,32 + 6,4d + 32d² = 0,36 + 7,2d + 27d²5d² — 0,8d — 0,04 = 0, d = 0,2, d = -0,04.По условию арифметическая прогрессия возрастающая, поэтому разность d > 0.Ответ: 0,2.Пример 4.Три отличных от нуля числа образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел образуют геометрическую прогрессию. Найти все возможные знаменатели последней прогрессии.Дано:А.П.: Г.П.: Найти q.РешениеВоспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии: Ответ: .Пример 5.Цифры трехзначного числа составляют геометрическую прогрессию. Если из данного числа вычесть 297, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же к цифрам данного числа, начиная с разряда сотен, прибавлять соответственно 8,5 и 1, то полученные суммы составят арифметическую прогрессию. Найти исходное число.РешениеПусть исходное число .Решим второе уравнение: х² — 4х + 4 = х² — 3х, х = 4, тогда у = х — 2 = 2, z = x — 3 = 1.Ответ: 421.Пример 6.Найти четыре числа, из которых первые три составляют геометрическую прогрессию, а последние три составляют арифметическую прогрессию, причем сумма крайних чисел равна 32, а сумма средних чисел равна 24.РешениеПусть x, y, z, t — данные числа.(24 — z)² = (56 — 3z)z; 576 — 48z + z² = 56z — 3z², 4z² — 104z + 576 = 0,z = 18 или z = 8x = 56 — 3z = 2 или x = 32y = 24 — z = 6 или y = 16t = 32 — x = 30 или t = 0.Ответ: 2, 6, 18, 30 или 32, 16, 8, 0.Пример 7.Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 155, а сумма первых двух членов геометрической прогрессии равна 9. Найти эти прогрессии, если первый член арифметической прогрессии равен знаменателю геометрической прогрессии, а первый член геометрической прогрессии равен разности арифметической прогрессии.РешениеЕсли подставим данные задачи в формулы суммы и n-го члена арифметической прогрессии, то получим систему уравнений:Подставим второе уравнение системы в первое и решим его:q = 2 или q = 12,5. Тогда d = 3 или d = 2/3.Ответ: 2; 5; 8; … и 3; 6; 12; … или 25/2; 79/6; 83/6; … и 2/3; 25/3; 625/6; …Пример 8.При каком значении параметра a значения функции y = x³ — 6x² + 9x + a в точке х = 2 и в точках экстремума, взятые в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?РешениеФункция определена на всей числовой прямой. Достаточно легко найти точки экстремума данной функции:y' = 3x² — 12x + 9 = 3(x² — 4x + 3) = 3(x — 1 )(x — 3)y' = 0 при х = 1, х = 3.Найдем значение функции в точках экстремума и в точке х = 2:у(3) = a; у(2) = 2 + a; у(1) = 4 + a.Так как порядок чисел не определен, то необходимо проверить характеристическое свойство геометрической прогрессии, все комбинации:

1) проверим порядок: a; 2 + a; 4 + a: (2 + a)² = a(4 + a); 4 + 4a + a² = 4a + a²;4 = 0, неверно;2) проверим порядок: a; 4 + a; 2 + a: (4 + a)2 = a(2 + a); 16 + 8a + a2 = 2a + a2;6a = -16; a = -8/3;3) проверим порядок: 4 + a; a; 2 + a: a² = (4 + a)(2 + a); a² = 8 + 6a + a²;6a = -8; a = -4/3.

Ответ: -8/3; -4/3.Пример 9.В трех растворах проценты содержания (по массе) спирта образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2 : 3 : 4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?РешениеПусть p₁, р₂, р₃ — концентрации данных растворов. По условию р₂ = p₁q, p₃ = р₁q₂, где q — знаменатель прогрессии. Используя формулу:m₁p₁ + m₂p₂ + m₃p₃ = p(m₁ + m₂ + m₃), составим систему уравнений:Разделим все уравнения на m > 0.56-030.gifЧтобы избавиться от третьего слагаемого, содержащего вторую степень, умножим второе уравнение на (-4 ) и сложим его с первым уравнением:Решим первое уравнение:2 + 3q + 4q² = 12 + 6q, 4q² — 3q — 10 = 0, q = -1,25 или q = 2. Отрицательный корень не удовлетворяет условию задачи.Итак, р₁ = 48/(2 + 2) = 12%, р₂ = p₁q = 12 2 = 24%, p₃ = р₁q² = 12 22 = 48%.Ответ: 12, 24, 48.Пример 10.Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартуют (из одного места) по кругу. Через некоторое время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 м больше его. Третий конькобежец пробегает то расстояние, которое пробежал первый к моменту обгона его вторым, за время на 2/3 минуты больше, чем первый. Найти скорость первого конькобежца.РешениеНетрудно догадаться, что самый «быстрый» из конькобежцев — это второй, на втором месте — первый, и самый «медленный» — третий. Поэтому пусть скорости конькобежцев в возрастающем порядке:v₃ = v, v₁ = vq, v₂ = vq².

1. Используя первые две строки таблицы, найдем S из системы:S(q — 1) = 400, S = 400 / (q - 1).
2. Используя первую и третью строки таблицы, найдем t из системы: Разделим первое уравнение на второе, получим:
3. Найдем скорость первого конькобежца:

Ответ: 600.

Теоретические сведения и примеры

Рассмотрим множество натуральных чисел N. Каждому натуральному числу по определенному правилу поставим в соответствие некоторое другое число. Получим бесконечную числовую последовательность, которую можно считать функцией, заданной на множестве натуральных чисел. Числовую последовательность принято обозначать или а_n, где Последовательность чаще всего задается формулой n-го члена или дается правило, по которому, зная предыдущие члены, можно вычислить последующие (рекуррентное задание последовательности).

Например, последовательность чисел

может быть задана формулой

Действительно, если то , если , то и т. д.

Числовая последовательность может быть конечной, если в ней содержится ограниченное количество чисел, т. е. сопоставление проводится не для всех натуральных чисел, а только для некоторых из них.

Если каждый член последовательности, начиная со второго, больше предыдущего, то последовательность называется монотонно возрастающей. Если каждый член последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего, то последовательность называется монотонно убывающей. Монотонно возрастающие и монотонно убывающие последовательности иногда называются просто монотонными.

Особый интерес для нас представляют последовательности, называемые арифметической и геометрической прогрессиями.

Числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, т. е. арифметическая прогрессия задается рекуррентно следующим образом: где (число d называется разностью прогрессии). Зная первый член прогрессии, а также ее разность, можно вычислить значение любого другого члена прогрессии: .

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов, т. е. где характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Формула суммы первых n членов прогрессии:

или , .

Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия называется возрастающей; если разностью является отрицательное число, то прогрессия называется убывающей.

Решение задач на смеси и сплавы с помощью схем и таблиц

Задачи на смеси и сплавы вызывают наибольшие затруднения у школьников. В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.

1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.

3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.

4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

При решении задач на смеси часто путают проценты и доли, раствор и растворенное вещество. Необходимо помнить, что массовая доля находится делением значения процентной концентрации на 100%, а масса растворенного вещества m(в-ва) равна произведению массы раствора m(р-ра) на массовую долю:

m(в-ва) = m(р-ра)•.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Задача 1. В каких пропорциях нужно смешать а%-й и b%-й растворы кислоты (a < b), чтобы получить с%-й раствор?

Возьмем х г а%-го раствора и у г b%-го раствора кислоты. Составим таблицу:

(b – с)у = (с – а)х,

x : у = (b – с) : (с – а).

Воспользуемся диагональной схемой*:

В этой схеме а и b – концентрации исходных растворов, с – требуемая концентрация кислоты в процентах, а «крест-накрест» – записаны их разности (b – с) и (с – а), соответствующие отношению масс растворов а и b.

Задача 2. Сколько по массе 90%-го и 60%-го растворов фосфорной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-го раствора фосфорной кислоты?

Решение

Составим диагональную схему:

Получаем:

х : у = 20 : 10 = 2 : 1.

Значит, 90%-го раствора фосфорной кислоты надо взять в 2 раза больше, чем 60%-го, т.е. х = 2y.

Составим уравнение: 2y + y = 5,4.

Отсюда y = 1,8 кг.

Ответ. 3,6 кг 90%-го и 1,8 кг 60%-го
растворов фосфорной кислоты.

Задача 3. Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Решение

Пусть проба сплава равна х.

Составим диагональную схему:

Получаем:

(864 – х) : (х – 600) = 75 : 150 = 1 : 2;

1728 – 2х = х – 600; х = 776.

Ответ. Получили сплав 776-й пробы.

Задача 4. Смешали некоторые количества 72%-го и 58%-го растворов кислоты, в результате получили 62%-й раствор той же кислоты. Если бы каждого раствора было взято на 15 л больше, то получился бы 63,25%-й раствор. Сколько литров каждого раствора было взято первоначально для составления первой смеси?

Решение

Дважды используем диагональную схему:

Получаем:

х : у = 4 : 10 = 2 : 5.

Получаем:

(х + 15) : (y + 15) = 5,25 : 8,75 = 3 : 5.

Составим систему уравнений и решим ее:

Ответ. В первой смеси было 12 л 72%-го раствора
и 30 л 58%-го раствора.

Задача 5. Сколько граммов 9%-го раствора спирта можно получить из 200 г 70%-го раствора спирта?

Решение

9%-й раствор спирта получают из 70%-го, разбавляя его водой. В воде 0% спирта. Применим диагональную схему:

Получаем:

х : у = 63 : 9 = 7 : 1.

Значит, 1 часть 70%-го раствора спирта надо разбавить 7 частями воды. Поэтому 200 г 70%-го раствора спирта надо разбавить 200•7 = 1400 г воды.

Всего получим: 200 + 1400 = 1600 г 9%-го раствора спирта.

Ответ. Из 200 г 70%-го раствора спирта можно
получить 1 кг 600 г 9%-го раствора спирта.

Задача 6. Имеются три смеси (I–III), составленные из трех элементов А, В и С. В первую смесь входят только элементы А и В в массовом отношении 1 : 2, во вторую смесь входят только элементы В и С в массовом отношении 1 : 3, в третью смесь входят только элементы А и С в массовом отношении 2 : 1. В каком соотношении нужно взять эти смеси, чтобы во вновь полученной смеси элементы А, В и С содержались в массовом отношении 11 : 3 : 8?

Решение

Для решения задачи составим схему 1:

Схема 1

По условию задачи в полученной смеси соотношение масс А : В : С = 11 : 3 : 8. Поэтому

Составим систему уравнений и решим ее:

Пусть = а, = b, тогда система примет вид:

Значит,

х : z = 1 : 5 = 3 : 15, х : у = 3 : 4,

поэтому

х : у : z = 3 : 4 : 15.

Ответ. Чтобы элементы А, В и С содержались
в массовом отношении 11 : 3 : 8, смеси I, II, III
надо взять в соотношении 3 : 4 : 15 по массе.

Задача 7. Имеется два сплава меди, никеля и железа, причем первый из них содержит 4% меди. Если сплавить их в равных количествах, получится сплав, содержащий 66% железа, а если взять 3 кг первого сплава и 7 кг второго, получится сплав, содержащий 0,4 кг меди. Определить процентное содержание никеля во втором сплаве, если известно, что оно в 2 раза выше, чем в первом сплаве.

Решение

Пусть во втором сплаве массовая доля никеля равна x, а железа – у. Для решения задачи составим схему 2.

Исходя из схемы 2, составим и решим систему уравнений:

Схема 2

Во втором сплаве массовая доля никеля равна 0,4, т.е. 40%.

Ответ. 40%.

Задача 8. Значения процентного содержания (по объему) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в объемном отношении 2 : 3 : 4, то получится 32%-й раствор спирта. Если смешать их в объемном отношении
3 : 2 : 1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?

Решение

Пусть в первом растворе х% спирта, во втором – у%, в третьем – z%. Согласно условию задачи процентное содержание спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию, потому справедливо уравнение:

у₂ = xz. (1)

На основании данных задачи составим таблицы и математические выражения.

Таблица 1

Смешивание трех растворов в объемном отношении 2 : 3 : 4

Таблица 2

Смешивание трех растворов в объемном отношении 3 : 2 : 1

3х/100 + 2y/100 + z/100 = 132/100,

3х + 2y + z = 132. (3)

Составим и решим систему из трех уравнений (1–3):

При z₁ = 48, x = 1₂, y = 24;

при z₂ = 100, x = 64, y = –80, решение не имеет смысла.

Ответ. В первом растворе 12% спирта,
во втором – 24%, в третьем – 48%.

* При решении задач на смешивание растворов разных концентраций автор использует диагональные схемы («правило креста»). На диагональной схеме в точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. Например, далее в задаче 2 – это 80%. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:

Из этой схемы следует, что, например, для приготовления 30 г 80%-го раствора H₃PO₄ требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.